Determine el cociente y el resto de la división de \( p(x)=3 x^{4}-10 x^{3}+8 x^{2}+3 x-2 \) en \( q(x)=3 x^{2}-4 x \)

Para determinar el cociente y el resto de la división de \( p(x) = 3x^4 - 10x^3 + 8x^2 + 3x - 2 \) entre \( q(x) = 3x^2 - 4x \), utilizaremos la división polinómica. 1. **Dividimos el primer término de \( p(x) \) entre el primer término de \( q(x) \)**: \[ \frac{3x^4}{3x^2} = x^2 \] Este será el primer término del cociente. 2. **Multiplicamos \( q(x) \) por \( x^2 \)**: \[ x^2(3x^2 - 4x) = 3x^4 - 4x^3 \] 3. **Restamos este resultado de \( p(x) \)**: \[ (3x^4 - 10x^3 + 8x^2 + 3x - 2) - (3x^4 - 4x^3) = -10x^3 + 4x^3 + 8x^2 + 3x - 2 = -6x^3 + 8x^2 + 3x - 2 \] 4. **Repetimos el proceso con el nuevo polinomio**: Dividimos el primer término de \(-6x^3\) entre el primer término de \(q(x)\): \[ \frac{-6x^3}{3x^2} = -2x \] Este será el siguiente término del cociente. 5. **Multiplicamos \( q(x) \) por \(-2x\)**: \[ -2x(3x^2 - 4x) = -6x^3 + 8x^2 \] 6. **Restamos este resultado**: \[ (-6x^3 + 8x^2 + 3x - 2) - (-6x^3 + 8x^2) = 3x - 2 \] 7. **Ahora repetimos el proceso una vez más**: Dividimos el primer término de \(3x\) entre el primer término de \(q(x)\): \[ \frac{3x}{3x^2} = 1/x \] Sin embargo, como estamos buscando un cociente polinómico, notamos que el grado del nuevo residuo \(3x - 2\) es menor que el grado de \(q(x)\) (que es 2). Por lo tanto, hemos terminado. El cociente de la división es: \[ C(x) = x^2 - 2x + 1 \] Y el resto es: \[ R(x) = 3x - 2 \] Por lo tanto, el resultado final es: - Cociente: \( x^2 - 2x + 1 \) - Resto: \( 3x - 2 \)