unciones Asignadas \( f(x)=\frac{x-2}{4 x-x^{2}} \)

Para analizar la función \( f(x) = \frac{x-2}{4x - x^2} \), podemos realizar varios pasos, como encontrar el dominio, los puntos críticos, las asíntotas y el comportamiento general de la función. ### 1. Dominio El dominio de la función se determina por los valores de \( x \) que hacen que el denominador sea diferente de cero. \[ 4x - x^2 = 0 \] Factorizando: \[ x(4 - x) = 0 \] Esto nos da dos soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 4 \] Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\} \] ### 2. Asíntotas #### Asíntotas verticales Las asíntotas verticales ocurren en los valores donde el denominador es cero y el numerador no es cero. En este caso, hay asíntotas verticales en \( x = 0 \) y \( x = 4 \). #### Asíntotas horizontales Para encontrar las asíntotas horizontales, analizamos el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \): \[ f(x) = \frac{x-2}{4x - x^2} = \frac{x(1 - \frac{2}{x})}{x^2(4/x - 1)} = \frac{1 - \frac{2}{x}}{4/x - 1} \] Cuando \( x \to \infty \): \[ f(x) \to \frac{1 - 0}{0 - 1} = -1 \] Cuando \( x \to -\infty \): \[ f(x) \to \frac{1 - 0}{0 - 1} = -1 \] Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = -1 \). ### 3. Puntos críticos Para encontrar los puntos críticos, derivamos \( f(x) \) y buscamos los valores donde la derivada es cero o no está definida. Usamos la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{(4x - x^2)(1) - (x - 2)(4 - 2x)}{(4x - x^2)^2} \] Simplificando el numerador: \[ = (4x - x^2) - (x - 2)(4 - 2x) \] Resolviendo esto y buscando los puntos donde \( f'(x) = 0 \) nos dará los puntos críticos. ### 4. Comportamiento general Finalmente, podemos analizar el comportamiento de la función en los intervalos determinados por los puntos críticos y las asíntotas verticales. Esto incluye evaluar la función en puntos de prueba en cada intervalo. ### Resumen - **Dominio**: \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\} \) - **Asíntotas verticales**: \( x = 0 \) y \( x = 4 \) - **Asíntota horizontal**: \( y = -1 \) Si necesitas más detalles sobre algún paso específico, como la derivada o el análisis de los puntos críticos, házmelo saber.