Usando logaritmos, encuentren las derivadas de las siguientes funciones \( \begin{array}{lll}\text { a) } y=x^{x+1} & \text { b) } y=t^{\sqrt{t}} & \text { c) } y=(\sqrt{t})^{t} \\ \text { d) } y=(\ln x)^{x} & \text { e) } y=(\cos s)^{s} & \text { f) } y=(\tan x)^{x^{2}+1}\end{array} \)

Para encontrar las derivadas de las funciones dadas usando logaritmos, aplicaremos la técnica de logaritmos implícitos. Esto implica tomar el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación y luego derivar. Vamos a resolver cada caso uno por uno. ### a) \( y = x^{x+1} \) 1. Tomamos el logaritmo natural: \[ \ln y = \ln(x^{x+1}) = (x+1) \ln x \] 2. Derivamos ambos lados: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}((x+1) \ln x) \] Usamos la regla del producto: \[ \frac{d}{dx}((x+1) \ln x) = \ln x + (x+1) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x} \] 3. Entonces: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 + \frac{1}{x} \] 4. Multiplicamos por \( y \): \[ \frac{dy}{dx} = y \left( \ln x + 1 + \frac{1}{x} \right) = x^{x+1} \left( \ln x + 1 + \frac{1}{x} \right) \] ### b) \( y = t^{\sqrt{t}} \) 1. Tomamos el logaritmo natural: \[ \ln y = \ln(t^{\sqrt{t}}) = \sqrt{t} \ln t \] 2. Derivamos ambos lados: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{t} \ln t) \] Usamos la regla del producto: \[ \frac{d}{dt}(\sqrt{t} \ln t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} \ln t + \sqrt{t} \cdot \frac{1}{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}} \ln t + \frac{1}{\sqrt{t}} \] 3. Entonces: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}} \ln t + \frac{1}{\sqrt{t}} \] 4. Multiplicamos por \( y \): \[ \frac{dy}{dt} = y \left( \frac{1}{2\sqrt{t}} \ln t + \frac{1}{\sqrt{t}} \right) = t^{\sqrt{t}} \left( \frac{1}{2\sqrt{t}} \ln t + \frac{1}{\sqrt{t}} \right) \] ### c) \( y = (\sqrt{t})^{t} \) 1. Tomamos el logaritmo natural: \[ \ln y = \ln((\sqrt{t})^{t}) = t \cdot \frac{1}{2} \ln t = \frac{t}{2} \ln t \] 2. Derivamos ambos lados: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t}{2} \ln t\right) \] Usamos la regla del producto: \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{t}{2} \ln t\right) = \frac{1}{2} \ln t + \frac{1}{2} \] 3. Entonces: \[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \ln t + \frac{1}{2} \] 4. Multiplicamos por \( y \): \[ \frac{dy}{dt} = y \left( \frac{1}{2} \ln t + \frac{1}{2} \right) = (\sqrt{t})^{t} \left( \frac{1}{2} \ln t + \frac{1}{2} \right) \] ### d) \( y = (\ln x)^{x} \) 1. Tomamos el logarit