4. Se tienen 728 caramelos rojos y 504 verdes. Se requiere empaquetarios en bolsas que tengan la misma car tidad de dulces, pero sin revolverlos ¿cuál es la mayor cantidad de caramelos que puede li en cada boisas que quede ninguno suelto' ¿cuantas bolsas serán necesarias en total?

Para resolver el problema, necesitamos encontrar el máximo común divisor (MCD) de 728 caramelos rojos y 504 caramelos verdes. El MCD nos dirá la mayor cantidad de caramelos que se pueden poner en cada bolsa sin que sobre ninguno. **Paso 1: Descomposición en factores primos** 1. **Descomposición de 728:** - 728 es par, así que lo dividimos entre 2: - \( 728 \div 2 = 364 \) - \( 364 \div 2 = 182 \) - \( 182 \div 2 = 91 \) - 91 no es par, así que probamos con el siguiente primo, que es 7: - \( 91 \div 7 = 13 \) - 13 es primo. Por lo tanto, la descomposición en factores primos de 728 es: \[ 728 = 2^3 \times 7^1 \times 13^1 \] 2. **Descomposición de 504:** - 504 es par, así que lo dividimos entre 2: - \( 504 \div 2 = 252 \) - \( 252 \div 2 = 126 \) - \( 126 \div 2 = 63 \) - 63 no es par, así que probamos con el siguiente primo, que es 3: - \( 63 \div 3 = 21 \) - \( 21 \div 3 = 7 \) - 7 es primo. Por lo tanto, la descomposición en factores primos de 504 es: \[ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7^1 \] **Paso 2: Encontrar el MCD** Para encontrar el MCD, tomamos los factores primos comunes con el menor exponente: - Para el factor \(2\): el menor exponente es \(3\). - Para el factor \(3\): no está en 728, así que no lo consideramos. - Para el factor \(7\): el menor exponente es \(1\). Por lo tanto, el MCD es: \[ MCD = 2^3 \times 7^1 = 8 \times 7 = 56 \] **Paso 3: Calcular el número de bolsas necesarias** Ahora que sabemos que cada bolsa puede contener 56 caramelos, calculamos cuántas bolsas se necesitan para cada tipo de caramelo: 1. **Bolsas de caramelos rojos:** \[ \frac{728}{56} = 13 \] 2. **Bolsas de caramelos verdes:** \[ \frac{504}{56} = 9 \] **Paso 4: Total de bolsas** Sumamos las bolsas de ambos tipos: \[ 13 + 9 = 22 \] **Respuesta final:** La mayor cantidad de caramelos que puede haber en cada bolsa es **56** y se necesitarán un total de **22 bolsas**.