II. Resuelve las siguientes divisiones usando la regla de Ruffini: 1) \( x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 \) Dividido entre \( x-4 \) 2) \( x^{4}-4 x^{3}-2 x^{2}+x-3 \) Dividido entre \( x+1 \) 3) \( 2 x^{3}-8 x^{4}-4 x^{5}-27 x^{2}+7 x-6 \) Dividido entre \( x+3 \) 4) \( m^{5}-8 m^{2}+2 m+4 \) Dividido entre \( m+2 \) 5) \( -125-45 x^{2}+2 x^{4} \) Dividido entre \( x+5 \)

Para resolver las divisiones usando la regla de Ruffini, primero debemos identificar el divisor y el valor que se usará en la regla. La regla de Ruffini se aplica a divisiones de polinomios de la forma \( P(x) \div (x - r) \), donde \( r \) es la raíz del divisor. Para divisores de la forma \( x + r \), se usará \( r = -k \). ### 1) \( x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 \) Dividido entre \( x-4 \) Aquí, \( r = 4 \). **Paso 1: Escribir los coeficientes:** - Coeficientes: \( 1, -3, -6, 5, 12 \) **Paso 2: Aplicar la regla de Ruffini:** \[ \begin{array}{r|rrrrr} 4 & 1 & -3 & -6 & 5 & 12 \\ & & 4 & 4 & -8 & -12 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & -3 & 0 \\ \end{array} \] El resultado es \( x^3 + x^2 - 2x - 3 \) y el residuo es \( 0 \). ### 2) \( x^{4}-4 x^{3}-2 x^{2}+x-3 \) Dividido entre \( x+1 \) Aquí, \( r = -1 \). **Paso 1: Escribir los coeficientes:** - Coeficientes: \( 1, -4, -2, 1, -3 \) **Paso 2: Aplicar la regla de Ruffini:** \[ \begin{array}{r|rrrrr} -1 & 1 & -4 & -2 & 1 & -3 \\ & & -1 & 5 & -3 & 2 \\ \hline & 1 & -5 & 3 & -2 & -1 \\ \end{array} \] El resultado es \( x^3 - 5x^2 + 3x - 2 \) y el residuo es \( -1 \). ### 3) \( 2 x^{3}-8 x^{4}-4 x^{5}-27 x^{2}+7 x-6 \) Dividido entre \( x+3 \) Aquí, \( r = -3 \). **Paso 1: Escribir los coeficientes:** - Coeficientes: \( -4, -8, 2, -27, 7, -6 \) (notar que el orden debe ser correcto) **Paso 2: Aplicar la regla de Ruffini:** \[ \begin{array}{r|rrrrrr} -3 & -4 & -8 & 2 & -27 & 7 & -6 \\ & & 12 & -12 & 30 & -9 & 27 \\ \hline & -4 & 4 & -10 & 3 & -2 & 21 \\ \end{array} \] El resultado es \( -4x^4 + 4x^3 - 10x^2 + 3x - 2 \) y el residuo es \( 21 \). ### 4) \( m^{5}-8 m^{2}+2 m+4 \) Dividido entre \( m+2 \) Aquí, \( r = -2 \). **Paso 1: Escribir los coeficientes:** - Coeficientes: \( 1, 0, -8, 2, 4 \) **Paso 2: Aplicar la regla de Ruffini:** \[ \begin{array}{r|rrrrr} -2 & 1 & 0 & -8 & 2 & 4 \\ & & -2 & 4 & -8 & 12 \\ \hline & 1 & -2 & -4 & -6 & 16 \\ \end{array} \] El resultado es \( m^4 - 2m^3 - 4m^2 - 6m + 16 \) y el residuo es \( 16 \). ### 5) \( -125-45 x^{2}+2 x^{4} \) Dividido entre \( x+5 \) Aquí, \( r = -5 \). **Paso 1: Escribir los coeficientes:** - Coeficientes: \( 2,