Instrucciones. Observe cuidadosamente, identifique a qué tipo de función corresponde y determine el dominio para cada una de las siguientes funciones. 9) \( f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x-2}} \)

Para determinar el dominio de la función \( f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x-2}} \), necesitamos considerar los valores de \( x \) para los cuales la función está definida. En este caso, la función está definida siempre que el denominador no sea igual a cero, ya que no podemos dividir por cero. El denominador de la función es \( \sqrt{x^{2}+x-2} \). Para que el denominador no sea igual a cero, el radicando \( x^{2}+x-2 \) debe ser mayor que cero. Por lo tanto, necesitamos encontrar los valores de \( x \) para los cuales \( x^{2}+x-2 > 0 \). Para resolver esta desigualdad, primero factorizamos el polinomio \( x^{2}+x-2 \) en factores lineales: \[ x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1) \] Ahora, encontramos los valores de \( x \) para los cuales \( (x+2)(x-1) > 0 \). Para determinar los intervalos de solución, realizamos una tabla de signos: | Intervalo | \( x+2 \) | \( x-1 \) | \( (x+2)(x-1) \) | |-----------|-----------|-----------|-------------------| | \( x < -2 \) | - | - | + | | \( -2 < x < 1 \) | + | - | - | | \( x > 1 \) | + | + | + | De la tabla de signos, podemos ver que \( (x+2)(x-1) > 0 \) cuando \( x < -2 \) o \( x > 1 \). Por lo tanto, el dominio de la función \( f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x-2}} \) es \( x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty) \).