Exercice 3 On considère la suite \( \left(w_{n}\right) \) telle que \( w_{0}=\frac{1}{2} \) et : \( \forall n \in \mathbb{N}, w_{n+1}=\frac{2 w_{n}}{1+w_{n}} \) Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, w_{n}=\frac{2^{n}}{1+2^{n}} \).

Pour démontrer que \( w_n = \frac{2^n}{1 + 2^n} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \), nous allons procéder par récurrence. **Initialisation :** Pour \( n = 0 \), nous avons : \[ w_0 = \frac{1}{2} \] Calculons \( w_0 \) avec notre formule proposée : \[ w_0 = \frac{2^0}{1 + 2^0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] L'initialisation est donc vérifiée. **Hérédité :** Supposons que la formule est vraie pour un certain \( n \), c'est-à-dire que : \[ w_n = \frac{2^n}{1 + 2^n} \] Nous devons montrer qu'elle est également vraie pour \( n + 1 \). En utilisant la relation de récurrence donnée : \[ w_{n+1} = \frac{2 w_n}{1 + w_n} \] Substituons \( w_n \) par notre hypothèse de récurrence : \[ w_{n+1} = \frac{2 \left( \frac{2^n}{1 + 2^n} \right)}{1 + \frac{2^n}{1 + 2^n}} \] Simplifions le dénominateur : \[ 1 + \frac{2^n}{1 + 2^n} = \frac{(1 + 2^n) + 2^n}{1 + 2^n} = \frac{1 + 2 \cdot 2^n}{1 + 2^n} = \frac{1 + 2^{n+1}}{1 + 2^n} \] Nous avons donc : \[ w_{n+1} = \frac{2 \cdot \frac{2^n}{1 + 2^n}}{\frac{1 + 2^{n+1}}{1 + 2^n}} = \frac{2 \cdot 2^n}{1 + 2^n} \cdot \frac{1 + 2^n}{1 + 2^{n+1}} = \frac{2^{n+1}}{1 + 2^{n+1}} \] Ainsi, nous avons montré que si \( w_n = \frac{2^n}{1 + 2^n} \) est vrai, alors \( w_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{1 + 2^{n+1}} \) est également vrai. **Conclusion :** Par le principe de récurrence, nous avons prouvé que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( w_n = \frac{2^n}{1 + 2^n} \).