4. En una secundaria, \( 40 \% \) de los alumnos está en primer año, \( 35 \% \) en segundo y el restante \( 25 \% \) en tercero. En el primer año, la mitad son mujeres; en el segundo, la cuarta parte son mujeres, y en tercero, las tres quintas partes. Si se elige al azar a un alumno y es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que sea de tercer año?

Para resolver el problema, utilizaremos la regla de Bayes. Primero, definimos los eventos: - \( A_1 \): ser alumno de primer año. - \( A_2 \): ser alumno de segundo año. - \( A_3 \): ser alumno de tercer año. - \( B \): ser mujer. Queremos encontrar la probabilidad \( P(A_3 | B) \), que es la probabilidad de que un alumno sea de tercer año dado que es mujer. Usamos la fórmula de Bayes: \[ P(A_3 | B) = \frac{P(B | A_3) \cdot P(A_3)}{P(B)} \] ### Paso 1: Calcular \( P(A_1) \), \( P(A_2) \), y \( P(A_3) \) - \( P(A_1) = 0.40 \) (40% en primer año) - \( P(A_2) = 0.35 \) (35% en segundo año) - \( P(A_3) = 0.25 \) (25% en tercer año) ### Paso 2: Calcular \( P(B | A_1) \), \( P(B | A_2) \), y \( P(B | A_3) \) - En primer año, la mitad son mujeres: \[ P(B | A_1) = 0.50 \] - En segundo año, la cuarta parte son mujeres: \[ P(B | A_2) = 0.25 \] - En tercer año, las tres quintas partes son mujeres: \[ P(B | A_3) = \frac{3}{5} = 0.60 \] ### Paso 3: Calcular \( P(B) \) Usamos la ley de la probabilidad total para calcular \( P(B) \): \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) + P(B | A_3) \cdot P(A_3) \] Sustituyendo los valores: \[ P(B) = (0.50 \cdot 0.40) + (0.25 \cdot 0.35) + (0.60 \cdot 0.25) \] Calculamos cada término: - \( 0.50 \cdot 0.40 = 0.20 \) - \( 0.25 \cdot 0.35 = 0.0875 \) - \( 0.60 \cdot 0.25 = 0.15 \) Sumamos: \[ P(B) = 0.20 + 0.0875 + 0.15 = 0.4375 \] ### Paso 4: Calcular \( P(A_3 | B) \) Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: \[ P(A_3 | B) = \frac{P(B | A_3) \cdot P(A_3)}{P(B)} = \frac{0.60 \cdot 0.25}{0.4375} \] Calculamos el numerador: \[ 0.60 \cdot 0.25 = 0.15 \] Ahora sustituimos: \[ P(A_3 | B) = \frac{0.15}{0.4375} \] Calculamos: \[ P(A_3 | B) \approx 0.342857 \] ### Resultado La probabilidad de que un alumno elegido al azar que es mujer sea de tercer año es aproximadamente \( 0.343 \) o \( 34.3\% \).