Pasar de $$ \frac{-2}{x^{2}+8 x-2} $$ a esta expresión $$ \frac{10}{10-40 x-5 x^{2}} $$

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Para transformar $$ \frac{-2}{x^{2}+8x-2} $$ a $$ \frac{10}{10-40x-5x^{2}} $$, factoriza el denominador de la primera expresión y luego reescribe el denominador de la segunda expresión para que coincida con el factorizado. Para pasar de la expresión $$ \frac{-2}{x^{2}+8 x-2} $$ a $$ \frac{10}{10-40 x-5 x^{2}} $$, primero simplificaremos y transformaremos la primera expresión. 1. **Factorizar el denominador de la primera expresión**: La expresión $$ x^{2} + 8x - 2 $$ se puede factorizar. Para ello, utilizamos la fórmula general para encontrar las raíces: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ donde $$ a = 1 $$, $$ b = 8 $$, y $$ c = -2 $$. Calculamos el discriminante: $$ b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(-2) = 64 + 8 = 72 $$ Las raíces son: $$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{2} $$ Por lo tanto, el denominador se puede escribir como: $$ (x - (-4 + 3\sqrt{2}))(x - (-4 - 3\sqrt{2})) $$ 2. **Transformar la expresión**: Ahora, observamos la segunda expresión $$ \frac{10}{10 - 40x - 5x^{2}} $$. Podemos reescribir el denominador: $$ 10 - 40x - 5x^{2} = -5(x^{2} + 8x - 2) $$ Por lo tanto, la expresión se convierte en: $$ \frac{10}{-5(x^{2} + 8x - 2)} = \frac{10}{-5} \cdot \frac{1}{x^{2} + 8x - 2} = -\frac{2}{x^{2} + 8x - 2} $$ 3. **Conclusión**: Hemos llegado a la conclusión de que: $$ \frac{-2}{x^{2} + 8x - 2} = \frac{10}{10 - 40x - 5x^{2}} $$ Por lo tanto, hemos transformado correctamente la primera expresión en la segunda.

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