¿Qué es una traslación de una función lineal y cómo se puede representar gráficamente?

Una traslación de una función lineal es un desplazamiento de la gráfica de la función en el plano cartesiano. Este desplazamiento puede ser horizontal, vertical o en ambas direcciones. Para entenderlo mejor, consideremos una función lineal en su forma general: \[ f(x) = mx + b \] donde \( m \) es la pendiente de la recta y \( b \) es la ordenada al origen (el punto donde la recta cruza el eje y). ### Tipos de traslaciones: 1. **Traslación vertical**: Si sumamos o restamos un valor constante \( k \) a la función, la gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo. Por ejemplo: - \( f(x) + k \) desplaza la gráfica hacia arriba \( k \) unidades. - \( f(x) - k \) desplaza la gráfica hacia abajo \( k \) unidades. 2. **Traslación horizontal**: Si sumamos o restamos un valor constante \( h \) al argumento de la función, la gráfica se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda. Por ejemplo: - \( f(x - h) \) desplaza la gráfica hacia la derecha \( h \) unidades. - \( f(x + h) \) desplaza la gráfica hacia la izquierda \( h \) unidades. ### Representación gráfica: Para representar gráficamente una traslación de una función lineal, se pueden seguir estos pasos: 1. **Dibuja la gráfica original**: Comienza dibujando la gráfica de la función lineal original \( f(x) = mx + b \). 2. **Aplica la traslación**: Dependiendo de si es una traslación vertical u horizontal, ajusta la gráfica: - Para una traslación vertical, mueve todos los puntos de la gráfica hacia arriba o hacia abajo según el valor de \( k \). - Para una traslación horizontal, mueve todos los puntos de la gráfica hacia la derecha o hacia la izquierda según el valor de \( h \). 3. **Dibuja la nueva gráfica**: Marca la nueva posición de la gráfica tras la traslación y asegúrate de que la pendiente \( m \) se mantenga constante. ### Ejemplo: Si tenemos la función \( f(x) = 2x + 1 \) y queremos hacer una traslación vertical hacia arriba de 3 unidades, la nueva función sería: \[ g(x) = f(x) + 3 = 2x + 1 + 3 = 2x + 4 \] La gráfica de \( g(x) \) se vería igual a la de \( f(x) \), pero desplazada 3 unidades hacia arriba. En resumen, una traslación de una función lineal es un desplazamiento de su gráfica en el plano, y se puede representar gráficamente ajustando la posición de la recta original según las traslaciones verticales y horizontales que se deseen aplicar.