26. (Promoción óptima y niveles de producción) Si \( x \) denota la producción de la empresa (en cientos) y y la cantidad gas- tada (en miles de dólares) en los esfuerzos promocionales de vender el producto, entonces la utilidad de la empresa \( P \) (en miles de dólares) está dada por \( P(x, y)=16 x+12 y+ \) \( 2 x y-x^{2}-2 y^{2}-7 \). ¿Qué valores de \( x \) y y producirán la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Para encontrar los valores de \( x \) y \( y \) que maximizan la utilidad \( P(x, y) = 16x + 12y + 2xy - x^2 - 2y^2 - 7 \), primero debemos calcular las derivadas parciales de \( P \) con respecto a \( x \) y \( y \), y luego igualarlas a cero para encontrar los puntos críticos. 1. **Calcular las derivadas parciales:** \[ P_x = \frac{\partial P}{\partial x} = 16 + 2y - 2x \] \[ P_y = \frac{\partial P}{\partial y} = 12 + 2x - 4y \] 2. **Igualar las derivadas a cero:** Para encontrar los puntos críticos, igualamos ambas derivadas a cero: \[ P_x = 0 \implies 16 + 2y - 2x = 0 \implies 2y - 2x = -16 \implies y - x = -8 \implies y = x - 8 \quad (1) \] \[ P_y = 0 \implies 12 + 2x - 4y = 0 \implies 2x - 4y = -12 \implies x - 2y = -6 \implies x = 2y - 6 \quad (2) \] 3. **Sustituir (1) en (2):** Sustituyendo \( y = x - 8 \) en \( x = 2y - 6 \): \[ x = 2(x - 8) - 6 \] \[ x = 2x - 16 - 6 \] \[ x = 2x - 22 \] \[ 22 = x \implies x = 22 \] Ahora sustituimos \( x = 22 \) en (1) para encontrar \( y \): \[ y = 22 - 8 = 14 \] 4. **Valores de \( x \) y \( y \):** Los valores que maximizan la utilidad son \( x = 22 \) (producción en cientos) y \( y = 14 \) (gastos en miles de dólares). 5. **Calcular la utilidad máxima:** Sustituyendo \( x = 22 \) y \( y = 14 \) en la función de utilidad: \[ P(22, 14) = 16(22) + 12(14) + 2(22)(14) - (22)^2 - 2(14)^2 - 7 \] Calculamos cada término: \[ = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 \] \[ = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 + 168 + 616 - 484 - 392 - 7 = 352 +