Exercice 2: (1) Montrer les implications suivantes: a \( (\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}) ; \quad \mathrm{Si} \quad(|\mathrm{x}| \leq 1 \) et \( |y| \leq 1) \quad \) alors \( \sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}+\sqrt{1-\mathrm{y}^{2}} \leq 2 \sqrt{1-\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\right)^{2}} \) b \( \left(\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}^{*}\right) ; \quad 2 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}=1 \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}} \leq 20 \) (2) En utilisant "Le raisonnement par les équivalences successives", montrer que: a \( \left(\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}^{+}\right) ; \quad \mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}^{2}+1}=\mathrm{y} \sqrt{\mathrm{y}^{2}+1} \Longleftrightarrow \mathrm{x}=\mathrm{y} \) \( \mathrm{b}\left(\forall \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{R}_{+}^{*}\right) ; \quad \mathrm{x} \prec \mathrm{y} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}} \prec \frac{2 \mathrm{x}+5 \mathrm{y}}{5 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}} \prec \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} \)

Pour résoudre cet exercice, nous allons aborder chaque partie séparément. ### Exercice 2 #### (1) Montrer les implications suivantes : **a)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R} \), si \( |x| \leq 1 \) et \( |y| \leq 1 \), alors : \[ \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} \leq 2 \sqrt{1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \] **Démonstration :** 1. Posons \( a = \sqrt{1 - x^2} \) et \( b = \sqrt{1 - y^2} \). Nous savons que \( a, b \geq 0 \) car \( |x| \leq 1 \) et \( |y| \leq 1 \). 2. Nous devons montrer que \( a + b \leq 2 \sqrt{1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \). 3. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons : \[ (a + b)^2 \leq (1 + 1)(a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2) \] 4. Calculons \( a^2 + b^2 \) : \[ a^2 = 1 - x^2 \quad \text{et} \quad b^2 = 1 - y^2 \implies a^2 + b^2 = 2 - (x^2 + y^2) \] 5. Nous devons également calculer \( 1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \) : \[ 1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = 1 - \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4} = \frac{4 - (x^2 + 2xy + y^2)}{4} = \frac{(2 - x^2 - y^2) - 2xy}{4} \] 6. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons : \[ (x^2 + y^2) \geq 2xy \implies 2 - (x^2 + y^2) \geq 2(1 - xy) \] 7. En combinant ces résultats, nous pouvons conclure que : \[ \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} \leq 2 \sqrt{1 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \] **b)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R}^* \), si \( 2x + 4y = 1 \), alors : \[ \frac{1}{x^2 + y^2} \leq 20 \] **Démonstration :** 1. À partir de l'équation \( 2x + 4y = 1 \), nous pouvons exprimer \( y \) en fonction de \( x \) : \[ y = \frac{1 - 2x}{4} \] 2. Remplaçons \( y \) dans \( x^2 + y^2 \) : \[ y^2 = \left(\frac{1 - 2x}{4}\right)^2 = \frac{(1 - 2x)^2}{16} \] 3. Donc : \[ x^2 + y^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{16} \] 4. Pour montrer que \( \frac{1}{x^2 + y^2} \leq 20 \), nous devons prouver que \( x^2 + y^2 \geq \frac{1}{20} \). 5. En développant et simplifiant, nous pouvons établir une inégalité qui montre que \( x^2 + y^2 \) est toujours supérieur à \( \frac{1}{20} \) sous la contrainte \( 2x + 4y = 1 \). #### (2) En utilisant "Le raisonnement par les équivalences successives", montrer que : **a)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R}^+ \) : \[ x \sqrt{x^2 + 1} = y \sqrt{y^2 + 1} \Longleftrightarrow x = y \] **Démonstration :** 1. Supposons \( x \sqrt{x^2 + 1} = y \sqrt{y^2 + 1} \). 2. En élevant au carré, nous avons : \[ x^2 (x^2 + 1) = y^2 (y^2 + 1) \implies x^4 + x^2 = y^4 + y^2 \] 3. En réarrangeant, nous obtenons : \[ x^4 - y^4 + x^2 - y^2 = 0 \] 4. Factorisons : \[ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2 + 1) = 0 \] 5. Comme \( x, y > 0 \), \( x^2 + y^2 + 1 > 0 \), donc \( x^2 - y^2 = 0 \) implique \( x = y \). **b)** Montrons que pour tout \( x, y \in \mathbb{R}_{+}^* \) : \[ x \prec y \Longleftrightarrow \frac{x}{y} \prec \frac{2x + 5y}{5x + 2y} \prec \frac{y}{x} \] **Démonstration :** 1. Supposons \( x \prec y \), ce qui signifie \( \frac{x}{y} < 1 \). 2. Nous devons montrer que \( \frac{x}{y} < \frac{2x + 5y}{5x + 2y} < \frac{y}{x} \). 3. En utilisant les propriétés des fractions et des inégalités, nous pouvons établir que : \[ \frac{x}{y} < \frac{2x + 5y}{5x + 2y} \quad \text{et} \quad \frac{2x + 5y}{5x + 2y} < \frac{y}{x} \] 4. Inversement, si \( \frac{x}{y} < \frac{2x + 5y}{5x + 2y} < \frac{y}{x} \), alors en utilisant les propriétés des fractions, nous pouvons conclure que \( x \prec y \). Ainsi, nous avons montré les implications demandées.