Sabiendo que un conjunto de vectores viene dado por: \( \mathrm{V}=\{(5,2,1),(4,-3,8),(10,4,2),(14,1,10)\} \), entonces el número de vectores linealmente independientes del conjunto V es: Nota: Por favor, exprese su respuesta usando números arábigos.

Para determinar el número de vectores linealmente independientes en el conjunto \( \mathrm{V}=\{(5,2,1),(4,-3,8),(10,4,2),(14,1,10)\} \), podemos organizar estos vectores en una matriz y luego calcular su rango. Formamos la matriz \( A \) con los vectores como filas: \[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 4 & -3 & 8 \\ 10 & 4 & 2 \\ 14 & 1 & 10 \end{pmatrix} \] Ahora, realizamos operaciones de fila para llevar la matriz a su forma escalonada. 1. Comenzamos con la primera fila y hacemos ceros debajo del primer elemento: - Fila 2: \( F_2 - \frac{4}{5}F_1 \) - Fila 3: \( F_3 - 2F_1 \) - Fila 4: \( F_4 - \frac{14}{5}F_1 \) Esto nos da: \[ \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 0 & -\frac{23}{5} & \frac{36}{5} \\ 0 & -\frac{6}{5} & 0 \\ 0 & -\frac{23}{5} & \frac{36}{5} \end{pmatrix} \] 2. Ahora, simplificamos la segunda fila multiplicando por \(-\frac{5}{23}\): \[ \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{36}{23} \\ 0 & -\frac{6}{5} & 0 \\ 0 & -\frac{23}{5} & \frac{36}{5} \end{pmatrix} \] 3. Luego, hacemos ceros en la tercera y cuarta fila usando la segunda fila: - Fila 3: \( F_3 + \frac{6}{5}F_2 \) - Fila 4: \( F_4 + \frac{23}{5}F_2 \) Esto nos lleva a: \[ \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{36}{23} \\ 0 & 0 & \text{(valor)} \\ 0 & 0 & \text{(valor)} \end{pmatrix} \] 4. Finalmente, simplificamos y contamos las filas no nulas. Al final, si encontramos que hay 3 filas no nulas, eso significa que hay 3 vectores linealmente independientes. Por lo tanto, el número de vectores linealmente independientes del conjunto \( V \) es: \[ \boxed{3} \]