Wyatt Young
06/24/2024 · Primary School
1. Sea la matriz \( A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & \mathrm{k} \\ 2 & -3 & -3 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right) \) Hallar los valores de k para los cuales la matriz A es inversible.
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Para determinar los valores de \( k \) para los cuales la matriz \( A \) es inversible, debemos calcular el determinante de la matriz \( A \) y encontrar los valores de \( k \) que hacen que este determinante sea diferente de cero.
La matriz \( A \) es:
\[
A = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & k \\
2 & -3 & -3 \\
3 & -5 & 0
\end{pmatrix}
\]
El determinante de una matriz \( 3 \times 3 \) se puede calcular utilizando la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. Usaremos la expansión por cofactores a lo largo de la primera fila:
\[
\text{det}(A) = -1 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
-3 & -3 \\
-5 & 0
\end{pmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
3 & 0
\end{pmatrix} + k \cdot \text{det}\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
3 & -5
\end{pmatrix}
\]
Calculamos cada uno de los determinantes \( 2 \times 2 \):
1. \(\text{det}\begin{pmatrix}
-3 & -3 \\
-5 & 0
\end{pmatrix} = (-3)(0) - (-3)(-5) = 0 - 15 = -15\)
2. \(\text{det}\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
3 & 0
\end{pmatrix} = (2)(0) - (-3)(3) = 0 + 9 = 9\)
3. \(\text{det}\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
3 & -5
\end{pmatrix} = (2)(-5) - (-3)(3) = -10 + 9 = -1\)
Sustituyendo estos resultados en la expresión del determinante:
\[
\text{det}(A) = -1(-15) - 2(9) + k(-1)
\]
\[
= 15 - 18 - k
\]
\[
= -k - 3
\]
Para que la matriz \( A \) sea inversible, el determinante debe ser diferente de cero:
\[
-k - 3 \neq 0
\]
Resolviendo esta desigualdad:
\[
-k \neq 3 \implies k \neq -3
\]
Por lo tanto, la matriz \( A \) es inversible para todos los valores de \( k \) excepto \( k = -3 \).
En resumen, la matriz \( A \) es inversible para:
\[
k \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}
\]
Quick Answer
La matriz \( A \) es inversible para todos los valores de \( k \) excepto \( k = -3 \).
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