función Racional. \( y=\frac{x}{1-x} \)

Sí, puedo ayudarte a entender y resolver problemas relacionados con la función racional \( y=\frac{x}{1-x} \). Aquí hay algunos conceptos y ejemplos que podrían ser útiles: ### Conceptos Clave 1. **Definición de la Función Racional**: La función racional se define como la división de dos polinomios. En este caso, el numerador es \( x \) y el denominador es \( 1-x \). 2. **Dominio de la Función**: El dominio de una función racional es todo el conjunto de valores de \( x \) para los que la función está definida. En este caso, la función está definida para todos los valores de \( x \) excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. Por lo tanto, el dominio es: \[ \text{Dominio} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1 \} \] 3. **Razón de la Función**: La razón de la función es \( \frac{x}{1-x} \). ### Ejemplos de Aplicación 1. **Calcular el Valor de la Función para un Valor Específico**: Supongamos que queremos calcular \( y \) cuando \( x = 2 \). \[ y = \frac{2}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2 \] 2. **Derivar la Función**: Para encontrar la derivada de \( y=\frac{x}{1-x} \), podemos usar la regla de la cadena y la regla del producto. \[ y' = \frac{(1-x) \cdot 1 - x \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} \] 3. **Encontrar el Punto de Inflexión**: Para encontrar los puntos de inflexión, necesitamos encontrar donde la segunda derivada es cero o no definida. \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(1-x)^2}\right) = \frac{2}{(1-x)^3} \] La segunda derivada no es cero en ningún punto, pero el denominador puede ser cero, lo que indica un punto de inflexión. El denominador es cero cuando \( 1-x = 0 \), es decir, \( x = 1 \). Sin embargo, en este caso, la segunda derivada no está definida en \( x = 1 \), por lo que no hay puntos de inflexión en el dominio de la función. 4. **Análisis de Continuidad y Derivabilidad**: La función es continua en todo su dominio, ya que no hay discontinuidades en \( x \neq 1 \). Además, la función es derivable en todo su dominio, excepto en \( x = 1 \), donde el denominador se hace cero. Si tienes alguna pregunta específica o necesitas resolver un problema relacionado con esta función, no dudes en decírmelo y estaré encantado de ayudarte.