\( \frac{2x+y=4}{3x\times y=5} \)

Para resolver el sistema de ecuaciones dado, primero necesitamos expresar las ecuaciones en forma estándar. La ecuación \( \frac{2x+y=4}{3x\times y=5} \) se puede reescribir como: 1. \( 2x + y = 4 \) 2. \( 3xy = 5 \) Ahora, podemos resolver este sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Primero, despejamos una variable en una de las ecuaciones y luego sustituimos en la otra ecuación para encontrar el valor de la otra variable. Finalmente, sustituimos los valores encontrados en una de las ecuaciones originales para encontrar los valores de las variables. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones. Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}2x+y=4\\3xy=5\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}y=4-2x\\3xy=5\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(y:\) \(3x\left(4-2x\right)=5\) - step3: Expand the expression: \(12x-6x^{2}=5\) - step4: Move the expression to the left side: \(12x-6x^{2}-5=0\) - step5: Rewrite in standard form: \(-6x^{2}+12x-5=0\) - step6: Multiply both sides: \(6x^{2}-12x+5=0\) - step7: Solve using the quadratic formula: \(x=\frac{12\pm \sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}\) - step8: Simplify the expression: \(x=\frac{12\pm \sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 5}}{12}\) - step9: Simplify the expression: \(x=\frac{12\pm \sqrt{24}}{12}\) - step10: Simplify the expression: \(x=\frac{12\pm 2\sqrt{6}}{12}\) - step11: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x=\frac{12+2\sqrt{6}}{12}\\&x=\frac{12-2\sqrt{6}}{12}\end{align}\) - step12: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=\frac{6+\sqrt{6}}{6}\\&x=\frac{12-2\sqrt{6}}{12}\end{align}\) - step13: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=\frac{6+\sqrt{6}}{6}\\&x=\frac{6-\sqrt{6}}{6}\end{align}\) - step14: Evaluate the logic: \(x=\frac{6+\sqrt{6}}{6}\cup x=\frac{6-\sqrt{6}}{6}\) - step15: Rearrange the terms: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{6+\sqrt{6}}{6}\\y=4-2x\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{6}}{6}\\y=4-2x\end{array}\right.\) - step16: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{6+\sqrt{6}}{6}\\y=\frac{6-\sqrt{6}}{3}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{6}}{6}\\y=\frac{6+\sqrt{6}}{3}\end{array}\right.\) - step17: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{6+\sqrt{6}}{6}\\y=\frac{6-\sqrt{6}}{3}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{6}}{6}\\y=\frac{6+\sqrt{6}}{3}\end{array}\right.\) - step18: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(\frac{6+\sqrt{6}}{6},\frac{6-\sqrt{6}}{3}\right)\cup \left(x,y\right) = \left(\frac{6-\sqrt{6}}{6},\frac{6+\sqrt{6}}{3}\right)\) El sistema de ecuaciones se resuelve como: \( (x, y) = \left(\frac{6+\sqrt{6}}{6}, \frac{6-\sqrt{6}}{3}\right) \) o \( (x, y) = \left(\frac{6-\sqrt{6}}{6}, \frac{6+\sqrt{6}}{3}\right) \) Estos son los pares de valores posibles para las variables \( x \) y \( y \) que satisfacen el sistema de ecuaciones dado.