Ejercicios tipo parcial Ejercicio 14. Sean \( f(x)=6 x+12, g(x)=\ln (x) \). Hallar el dominio, los ceros y los conjuntor de positividad y de negatividad de \( h=g \circ f \).

Para resolver el ejercicio, primero definimos la función compuesta \( h(x) = g(f(x)) \). Dadas las funciones: - \( f(x) = 6x + 12 \) - \( g(x) = \ln(x) \) ### Paso 1: Hallar el dominio de \( h(x) \) El dominio de \( h(x) \) se determina por el dominio de \( g(x) \) y la imagen de \( f(x) \). 1. **Dominio de \( g(x) = \ln(x) \)**: - La función logaritmo natural está definida para \( x > 0 \). 2. **Imagen de \( f(x) \)**: - La función \( f(x) = 6x + 12 \) es una función lineal que toma todos los valores reales. - Para encontrar los valores de \( x \) que hacen que \( f(x) > 0 \): \[ 6x + 12 > 0 \implies 6x > -12 \implies x > -2 \] - Por lo tanto, \( f(x) > 0 \) para \( x > -2 \). 3. **Dominio de \( h(x) \)**: - Para que \( h(x) = g(f(x)) \) esté definida, necesitamos que \( f(x) > 0 \). - Por lo tanto, el dominio de \( h(x) \) es \( x > -2 \). ### Paso 2: Hallar los ceros de \( h(x) \) Para encontrar los ceros de \( h(x) \), resolvemos la ecuación \( h(x) = 0 \): \[ g(f(x)) = 0 \implies \ln(f(x)) = 0 \] Esto implica que: \[ f(x) = e^0 = 1 \] Ahora resolvemos la ecuación: \[ 6x + 12 = 1 \implies 6x = 1 - 12 \implies 6x = -11 \implies x = -\frac{11}{6} \] Verificamos si este valor está en el dominio: - \( -\frac{11}{6} \approx -1.83 \), que es mayor que \(-2\). Por lo tanto, \( x = -\frac{11}{6} \) es un cero de \( h(x) \). ### Paso 3: Conjunto de positividad y negatividad de \( h(x) \) Para determinar los intervalos de positividad y negatividad de \( h(x) \), analizamos el signo de \( h(x) \): 1. **Positividad**: - \( h(x) > 0 \) cuando \( f(x) > 1 \): \[ 6x + 12 > 1 \implies 6x > -11 \implies x > -\frac{11}{6} \] - Por lo tanto, \( h(x) > 0 \) para \( x > -\frac{11}{6} \). 2. **Negatividad**: - \( h(x) < 0 \) cuando \( f(x) < 1 \): \[ 6x + 12 < 1 \implies 6x < -11 \implies x < -\frac{11}{6} \] - Por lo tanto, \( h(x) < 0 \) para \( x < -\frac{11}{6} \). ### Resumen de resultados - **Dominio de \( h(x) \)**: \( (-2, \infty) \) - **Ceros de \( h(x) \)**: \( x = -\frac{11}{6} \) - **Conjunto de positividad**: \( \left(-\frac{11}{6}, \infty\right) \) - **Conjunto de negatividad**: \( (-2, -\frac{11}{6}) \) Estos son los resultados requeridos para la función compuesta \( h(x) = g(f(x)) \).