Hollar el area de paralelogramo cuyas diagonales son \( 2 \vec{a}-\vec{b} \) y \( 4 \vec{a}-5 \vec{b} \) donde \( A \) y \( B \) son vectores unitaries y \& angelo ave forman estas vectores es de \( 45^{\circ} \)

Para encontrar el área de un paralelogramo cuyas diagonales son \( \vec{d_1} = 2 \vec{a} - \vec{b} \) y \( \vec{d_2} = 4 \vec{a} - 5 \vec{b} \), podemos usar la relación entre las diagonales y el área del paralelogramo. El área \( A \) del paralelogramo se puede calcular usando la fórmula: \[ A = \frac{1}{2} \|\vec{d_1} \times \vec{d_2}\| \] Donde \( \times \) representa el producto vectorial. Primero, necesitamos calcular el producto vectorial \( \vec{d_1} \times \vec{d_2} \). Sin embargo, dado que no tenemos valores específicos para \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \), podemos usar la información sobre el ángulo entre ellos. Dado que \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) son vectores unitarios y forman un ángulo de \( 45^\circ \), podemos usar la relación: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ahora, calculamos el producto vectorial \( \vec{d_1} \times \vec{d_2} \): \[ \vec{d_1} = 2 \vec{a} - \vec{b} \] \[ \vec{d_2} = 4 \vec{a} - 5 \vec{b} \] El producto vectorial se puede calcular usando la fórmula: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta) \hat{n} \] Donde \( \theta \) es el ángulo entre los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \), y \( \hat{n} \) es un vector unitario perpendicular a ambos. Primero, calculamos las magnitudes de \( \vec{d_1} \) y \( \vec{d_2} \): \[ \|\vec{d_1}\| = \|2 \vec{a} - \vec{b}\| = \sqrt{(2^2 + (-1)^2 + 2(-1)(\vec{a} \cdot \vec{b}))} = \sqrt{4 + 1 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{2}} \] \[ \|\vec{d_2}\| = \|4 \vec{a} - 5 \vec{b}\| = \sqrt{(4^2 + (-5)^2 + 4(-5)(\vec{a} \cdot \vec{b}))} = \sqrt{16 + 25 - 20\sqrt{2}} = \sqrt{41 - 20\sqrt{2}} \] Ahora, el ángulo entre \( \vec{d_1} \) y \( \vec{d_2} \) se puede calcular usando el producto punto: \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (4 \vec{a} - 5 \vec{b}) = 8 \vec{a} \cdot \vec{a} - 10 \vec{a} \cdot \vec{b} - 4 \vec{b} \cdot \vec{a} + 5 \vec{b} \cdot \vec{b} \] Sustituyendo \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 1 \) y \( \vec{b} \cdot \vec{b} = 1 \): \[ = 8 - 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 = 13 - 7\sqrt{2} \] Finalmente, el área del paralelogramo es: \[ A = \frac{1}{2} \|\vec{d_1} \times \vec{d_2}\| = \frac{1}{2} \|\vec{d_1}\| \|\vec{d_2}\| \