El rendimiento de un cultivo de maíz se evalúa mediante la función \( y=5 x+x^{2} \) para \( x \geq 0 \), don- de \( x \) es la cantidad de fertilizante por acre de sue- lo y y es la producción de maí. Encuentra el nivel máximo de fertilizante que se usa.

Para encontrar el nivel máximo de fertilizante que se usa en el cultivo de maíz, debemos maximizar la función de producción \( y = 5x + x^2 \). Para ello, primero calculamos la derivada de \( y \) con respecto a \( x \) y luego igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos. 1. **Calcular la derivada**: \[ \frac{dy}{dx} = 5 + 2x \] 2. **Igualar la derivada a cero**: \[ 5 + 2x = 0 \] 3. **Resolver para \( x \)**: \[ 2x = -5 \\ x = -\frac{5}{2} \] Dado que \( x \) representa la cantidad de fertilizante y debe ser no negativo (\( x \geq 0 \)), no hay puntos críticos en el intervalo permitido. 4. **Evaluar el comportamiento de la función**: La derivada \( \frac{dy}{dx} = 5 + 2x \) es siempre positiva para \( x \geq 0 \) (ya que \( 5 + 2x > 0 \) para \( x \geq 0 \)). Esto indica que la función \( y \) es creciente en el intervalo \( x \geq 0 \). 5. **Conclusión**: Dado que la función es creciente y no tiene un máximo en el intervalo \( x \geq 0 \), el rendimiento de la producción de maíz aumentará indefinidamente a medida que se aumente la cantidad de fertilizante. Por lo tanto, no hay un nivel máximo de fertilizante que se use, ya que la producción seguirá aumentando con más fertilizante. Sin embargo, en la práctica, hay que considerar factores como la disponibilidad de recursos, costos y efectos negativos de un exceso de fertilizante.