3. (2,0) Calcular o comprimento de arco da curva \( y=1-\ln (\operatorname{sen} x) \) do ponto onde \( x=\frac{\pi}{6} \) ao ponto onde \( x=\frac{\pi}{4} \)

Desculpe, mas parece que não é possível calcular essa integral diretamente. Vamos tentar simplificar a expressão antes de calcular a integral. Vamos simplificar a expressão \( \sqrt{1 + \left( -\frac{1}{\operatorname{sen} x} \cdot \operatorname{cos} x \right)^2} \) antes de calcular a integral. Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\sqrt{1+\left(-\frac{1}{\sin\left(x\right)}\times \cos\left(x\right)\right)^{2}}\) - step1: Multiply the terms: \(\sqrt{1+\left(-\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)^{2}}\) - step2: Rewrite the expression: \(\sqrt{\frac{\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}}\) - step3: Use the properties of radicals: \(\frac{\sqrt{\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)}}{\sqrt{\sin^{2}\left(x\right)}}\) - step4: Simplify the expression: \(\frac{1}{\sin\left(x\right)}\) - step5: Transform the expression: \(\csc\left(x\right)\) Vamos substituir a expressão simplificada na integral: \[ L = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \csc(x) \, dx \] Agora, vamos calcular essa integral para encontrar o comprimento de arco da curva. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} \csc\left(x\right) dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \csc\left(x\right) dx\) - step2: Evaluate the integral: \(-\ln{\left(\left|\csc\left(x\right)+\cot\left(x\right)\right|\right)}\) - step3: Return the limits: \(\left(-\ln{\left(\left|\csc\left(x\right)+\cot\left(x\right)\right|\right)}\right)\bigg |_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\) - step4: Calculate the value: \(\ln{\left(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}\right)}\) O comprimento de arco da curva \( y=1-\ln (\operatorname{sen} x) \) do ponto onde \( x=\frac{\pi}{6} \) ao ponto onde \( x=\frac{\pi}{4} \) é \( \ln{(\\frac{2+\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}+1})} \).