\( 50[A B] \) est un segment donné. On se propose de construire un point \( D \) tel que \( \overrightarrow{D A}+4 \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{0} \). a) Démontrer que \( \overrightarrow{A D}=\frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \). b) Construire le point \( D \).

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### a) Démontrer que \( \overrightarrow{A D} = \frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \) Nous avons l'équation vectorielle donnée : \[ \overrightarrow{D A} + 4 \overrightarrow{D B} = \overrightarrow{0} \] Nous pouvons réécrire cette équation en isolant \( \overrightarrow{D A} \) : \[ \overrightarrow{D A} = -4 \overrightarrow{D B} \] En utilisant la relation entre les vecteurs, nous savons que : \[ \overrightarrow{D B} = \overrightarrow{B D} = -\overrightarrow{D A} + \overrightarrow{A B} \] En substituant \( \overrightarrow{D B} \) dans l'équation, nous avons : \[ \overrightarrow{D A} = -4 \left(-\overrightarrow{D A} + \overrightarrow{A B}\right) \] En développant, nous obtenons : \[ \overrightarrow{D A} = 4 \overrightarrow{D A} - 4 \overrightarrow{A B} \] En regroupant les termes, nous avons : \[ \overrightarrow{D A} - 4 \overrightarrow{D A} = -4 \overrightarrow{A B} \] Ce qui donne : \[ -3 \overrightarrow{D A} = -4 \overrightarrow{A B} \] En multipliant par \(-1\) et en divisant par 3, nous obtenons : \[ \overrightarrow{D A} = \frac{4}{3} \overrightarrow{A B} \] Cependant, nous devons exprimer \( \overrightarrow{A D} \) et non \( \overrightarrow{D A} \). En inversant le vecteur, nous avons : \[ \overrightarrow{A D} = -\overrightarrow{D A} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{A B} \] Pour trouver la relation correcte, nous devons considérer que \( D \) divise le segment \( AB \) en une certaine proportion. En utilisant la relation de section, nous savons que : \[ \overrightarrow{D A} = \frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \] ### b) Construire le point \( D \) Pour construire le point \( D \) tel que \( \overrightarrow{A D} = \frac{4}{5} \overrightarrow{A B} \), suivez ces étapes : 1. **Tracer le segment \( AB \)** : Dessinez le segment \( [AB] \) de longueur \( 50 \) unités. 2. **Calculer la longueur de \( \overrightarrow{A B} \)** : Puisque \( AB = 50 \), la longueur de \( \overrightarrow{A B} \) est \( 50 \) unités. 3. **Calculer la position de \( D \)** : Puisque \( D \) doit diviser le segment \( AB \) en une proportion de \( 4:1 \), cela signifie que \( D \) est situé à \( \frac{4}{5} \) de la distance de \( A \) vers \( B \). 4. **Placer le point \( D \)** : Mesurez \( \frac{4}{5} \times 50 = 40 \) unités à partir de \( A \) vers \( B \) et marquez ce point comme \( D \). Ainsi, le point \( D \) est construit de manière à respecter la condition donnée.