Ejercicio 2 . Considere las siguientes soluciones recursivas con sus respectivas condiciones iniciales y determine: los 5 primeros términos de la recurrencia, y una solución de recurrencia cerrada (si es posible). a) \( a_{n}=-3 a_{n-1} \), con condición inicial \( \mathrm{a}=4 \). b) \( a_{n}=a_{n-1}+3 \), con condición inicial a1=2.

Vamos a resolver cada una de las recurrencias dadas. ### a) \( a_{n} = -3 a_{n-1} \) con condición inicial \( a_1 = 4 \) Para encontrar los primeros 5 términos, comenzamos con la condición inicial y aplicamos la relación de recurrencia: 1. \( a_1 = 4 \) 2. \( a_2 = -3 a_1 = -3 \cdot 4 = -12 \) 3. \( a_3 = -3 a_2 = -3 \cdot (-12) = 36 \) 4. \( a_4 = -3 a_3 = -3 \cdot 36 = -108 \) 5. \( a_5 = -3 a_4 = -3 \cdot (-108) = 324 \) Por lo tanto, los primeros 5 términos son: - \( a_1 = 4 \) - \( a_2 = -12 \) - \( a_3 = 36 \) - \( a_4 = -108 \) - \( a_5 = 324 \) Ahora, para encontrar una solución cerrada, observamos que la relación de recurrencia es una progresión geométrica. La forma general de la solución es: \[ a_n = a_1 \cdot (-3)^{n-1} \] Sustituyendo \( a_1 = 4 \): \[ a_n = 4 \cdot (-3)^{n-1} \] ### b) \( a_{n} = a_{n-1} + 3 \) con condición inicial \( a_1 = 2 \) Para encontrar los primeros 5 términos, comenzamos con la condición inicial y aplicamos la relación de recurrencia: 1. \( a_1 = 2 \) 2. \( a_2 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5 \) 3. \( a_3 = a_2 + 3 = 5 + 3 = 8 \) 4. \( a_4 = a_3 + 3 = 8 + 3 = 11 \) 5. \( a_5 = a_4 + 3 = 11 + 3 = 14 \) Por lo tanto, los primeros 5 términos son: - \( a_1 = 2 \) - \( a_2 = 5 \) - \( a_3 = 8 \) - \( a_4 = 11 \) - \( a_5 = 14 \) Para encontrar una solución cerrada, notamos que esta es una progresión aritmética. La forma general de la solución es: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] donde \( d = 3 \) es la diferencia común. Sustituyendo \( a_1 = 2 \): \[ a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1 \] ### Resumen de resultados - Para la primera recurrencia: - Primeros 5 términos: \( 4, -12, 36, -108, 324 \) - Solución cerrada: \( a_n = 4 \cdot (-3)^{n-1} \) - Para la segunda recurrencia: - Primeros 5 términos: \( 2, 5, 8, 11, 14 \) - Solución cerrada: \( a_n = 3n - 1 \)