Encuentre la ecuación a la recta tangente la grafica de f en el punto indicado. \( f(x)=\sqrt{2 x^{2}-7},(4,5) \) a. \( y=\frac{8}{5} x-\frac{7}{5} \) b. \( y=-3 x-\frac{7}{5} \) c. \( y=4 x-\frac{7}{5} \) d. \( y=\frac{8}{5} x+\frac{4}{5} \)

Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \( f(x) = \sqrt{2x^2 - 7} \) en el punto \( (4, 5) \), necesitamos seguir estos pasos: 1. **Verificar que el punto está en la gráfica**: Evaluamos \( f(4) \): \[ f(4) = \sqrt{2(4^2) - 7} = \sqrt{2(16) - 7} = \sqrt{32 - 7} = \sqrt{25} = 5. \] El punto \( (4, 5) \) está efectivamente en la gráfica. 2. **Calcular la derivada de \( f(x) \)**: Usamos la regla de la cadena para derivar \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - 7}} \cdot (4x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 - 7}}. \] 3. **Evaluar la derivada en \( x = 4 \)**: \[ f'(4) = \frac{2(4)}{\sqrt{2(4^2) - 7}} = \frac{8}{\sqrt{32 - 7}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5}. \] 4. **Usar la fórmula de la recta tangente**: La ecuación de la recta tangente en el punto \( (x_0, y_0) \) es: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0). \] Sustituyendo \( (x_0, y_0) = (4, 5) \) y \( f'(4) = \frac{8}{5} \): \[ y - 5 = \frac{8}{5}(x - 4). \] 5. **Simplificar la ecuación**: Multiplicamos ambos lados por 5 para eliminar el denominador: \[ 5(y - 5) = 8(x - 4). \] Esto se convierte en: \[ 5y - 25 = 8x - 32. \] Reorganizando: \[ 5y = 8x - 32 + 25, \] \[ 5y = 8x - 7. \] Dividiendo todo entre 5: \[ y = \frac{8}{5}x - \frac{7}{5}. \] Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: \[ \boxed{y = \frac{8}{5}x - \frac{7}{5}}. \] La respuesta correcta es la opción **a**.