Irazar el gráfico de todas las asíntotas de la función racional. \( f(x)=\frac{-4 x^{2}-8 x+5}{2 x+1} \)

Para encontrar las asíntotas de la función racional \( f(x) = \frac{-4x^2 - 8x + 5}{2x + 1} \), debemos identificar las asíntotas verticales y horizontales. ### 1. Asíntotas verticales Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es igual a cero, siempre que el numerador no sea cero en esos puntos. Primero, encontramos los valores de \( x \) que hacen que el denominador sea cero: \[ 2x + 1 = 0 \] Resolviendo para \( x \): \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] Por lo tanto, hay una asíntota vertical en \( x = -\frac{1}{2} \). ### 2. Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales se determinan observando el comportamiento de la función cuando \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \). Para funciones racionales, comparamos los grados del numerador y del denominador. - El grado del numerador \( (-4x^2 - 8x + 5) \) es 2. - El grado del denominador \( (2x + 1) \) es 1. Dado que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, no hay asíntota horizontal. En este caso, la función tiende a \( \infty \) o \( -\infty \) a medida que \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \). ### 3. Asíntotas oblicuas Dado que el grado del numerador es mayor que el del denominador por 1, podemos encontrar una asíntota oblicua. Para ello, realizamos la división polinómica de \( -4x^2 - 8x + 5 \) entre \( 2x + 1 \). Realizando la división: 1. Dividimos el primer término: \( \frac{-4x^2}{2x} = -2x \). 2. Multiplicamos \( -2x \) por \( 2x + 1 \): \( -2x(2x + 1) = -4x^2 - 2x \). 3. Restamos: \[ (-4x^2 - 8x + 5) - (-4x^2 - 2x) = -6x + 5 \] 4. Ahora dividimos el primer término de \( -6x + 5 \) entre \( 2x + 1 \): \[ \frac{-6x}{2x} = -3 \] 5. Multiplicamos \( -3 \) por \( 2x + 1 \): \( -3(2x + 1) = -6x - 3 \). 6. Restamos: \[ (-6x + 5) - (-6x - 3) = 8 \] La división nos da: \[ f(x) = -2x - 3 + \frac{8}{2x + 1} \] A medida que \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \), el término \( \frac{8}{2x + 1} \) tiende a 0. Por lo tanto, la asíntota oblicua es: \[ y = -2x - 3 \] ### Resumen de las asíntotas - **Asíntota vertical**: \( x = -\frac{1}{2} \) - **Asíntota oblicua**: \( y = -2x - 3 \) - **No hay asíntota horizontal**. ### Gráfico Para graficar la función y sus asíntotas, puedes seguir estos pasos: 1. Dibuja la línea vertical en \( x = -\frac{1}{2} \). 2. Dibuja la línea oblicua \( y = -2x - 3 \). 3. Grafica la función \( f(x) \) y observa cómo se comporta cerca de las asíntotas. Si necesitas un gráfico visual, puedes usar software de graficación o herramientas en línea para visualizar la función y sus asíntotas.