Una piscina rectangular de 15 m de largo por 9 m de ancho está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el ârea del camino es \( 81 \mathrm{~m}^{2} \). ¿cuánto mide su ancho?.

Para resolver el problema, primero definimos el ancho del camino de cemento como \( x \) metros. La piscina tiene dimensiones de 15 m de largo y 9 m de ancho. Al agregar el camino de cemento alrededor de la piscina, las dimensiones totales de la piscina más el camino serán: - Largo total: \( 15 + 2x \) (ya que hay \( x \) metros de camino en cada extremo del largo) - Ancho total: \( 9 + 2x \) (de igual manera, hay \( x \) metros de camino en cada lado del ancho) El área total de la piscina más el camino es: \[ (15 + 2x)(9 + 2x) \] El área de la piscina sola es: \[ 15 \times 9 = 135 \, \text{m}^2 \] El área del camino es la diferencia entre el área total y el área de la piscina: \[ \text{Área del camino} = (15 + 2x)(9 + 2x) - 135 \] Según el problema, el área del camino es \( 81 \, \text{m}^2 \). Por lo tanto, podemos establecer la siguiente ecuación: \[ (15 + 2x)(9 + 2x) - 135 = 81 \] Simplificamos la ecuación: \[ (15 + 2x)(9 + 2x) = 216 \] Ahora, expandimos el lado izquierdo: \[ 15 \cdot 9 + 15 \cdot 2x + 9 \cdot 2x + 4x^2 = 216 \] \[ 135 + 30x + 18x + 4x^2 = 216 \] \[ 135 + 48x + 4x^2 = 216 \] Restamos 216 de ambos lados: \[ 4x^2 + 48x + 135 - 216 = 0 \] \[ 4x^2 + 48x - 81 = 0 \] Dividimos toda la ecuación entre 4 para simplificar: \[ x^2 + 12x - 20.25 = 0 \] Ahora aplicamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 1 \), \( b = 12 \), y \( c = -20.25 \): \[ b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20.25) = 144 + 81 = 225 \] Ahora calculamos \( x \): \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 15}{2} \] Esto nos da dos soluciones: 1. \( x = \frac{3}{2} = 1.5 \) 2. \( x = \frac{-27}{2} \) (no es una solución válida porque el ancho no puede ser negativo) Por lo tanto, el ancho del camino es: \[ \boxed{1.5 \, \text{m}} \]