(2,0) Calcular o comprimento de arco da curva \( y=1-\ln (\operatorname{sen} x) \) do ponto onde \( x=\frac{7}{7} \) ao ponto onde \( x=\frac{\pi}{4} \)

Para calcular o comprimento de arco da curva \( y = 1 - \ln(\sin x) \) entre os pontos \( x = 1 \) (que é \( \frac{7}{7} \)) e \( x = \frac{\pi}{4} \), utilizamos a fórmula do comprimento de arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primeiro, precisamos encontrar a derivada \( \frac{dy}{dx} \). A função é: \[ y = 1 - \ln(\sin x) \] Calculando a derivada: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = -\cot x \] Agora, substituímos \( \frac{dy}{dx} \) na fórmula do comprimento de arco: \[ L = \int_{1}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \left(-\cot x\right)^2} \, dx \] Sabemos que \( \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \), então: \[ 1 + \cot^2 x = 1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} \] Portanto, temos: \[ \sqrt{1 + \cot^2 x} = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 x}} = \frac{1}{\sin x} \] Assim, a integral do comprimento de arco se torna: \[ L = \int_{1}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \] A integral de \( \frac{1}{\sin x} \) é \( -\ln(\cot x + \csc x) \). Portanto, calculamos: \[ L = \left[-\ln(\cot x + \csc x)\right]_{1}^{\frac{\pi}{4}} \] Calculando os limites: 1. Para \( x = \frac{\pi}{4} \): \[ \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad \text{e} \quad \csc\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \] Portanto: \[ \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) + \csc\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \sqrt{2} \] 2. Para \( x = 1 \): \[ \cot(1) = \frac{\cos(1)}{\sin(1)} \quad \text{e} \quad \csc(1) = \frac{1}{\sin(1)} \] Assim: \[ \cot(1) + \csc(1) = \frac{\cos(1)}{\sin(1)} + \frac{1}{\sin(1)} = \frac{\cos(1) + 1}{\sin(1)} \] Portanto, a integral se torna: \[ L = -\ln(1 + \sqrt{2}) + \ln\left(\frac{\cos(1) + 1}{\sin(1)}\right) \] Simplificando, temos: \[ L = \ln\left(\frac{\cos(1) + 1}{\sin(1)(1 + \sqrt{2})}\right) \] Assim, o comprimento de arco da curva \( y = 1 - \ln(\sin x) \) do ponto \( x = 1 \) ao ponto \( x = \frac{\pi}{4} \) é: \[ L = \ln\left(\frac{\cos(1) + 1}{\sin(1)(1 + \sqrt{2})}\right) \]