\( \hat { A } = \frac { 5 } { 4 } x + 25 ^ { \circ } \quad \hat { B } = \frac { 3 } { 4 } x + 28 ^ { \circ } \)

Para resolver el problema, primero igualamos las dos expresiones para encontrar el valor de \( x \): \[ \hat{A} = \hat{B} \] Sustituyendo las expresiones dadas: \[ \frac{5}{4}x + 25^\circ = \frac{3}{4}x + 28^\circ \] Ahora, restamos \(\frac{3}{4}x\) de ambos lados: \[ \frac{5}{4}x - \frac{3}{4}x + 25^\circ = 28^\circ \] Esto simplifica a: \[ \frac{2}{4}x + 25^\circ = 28^\circ \] O, simplificando aún más: \[ \frac{1}{2}x + 25^\circ = 28^\circ \] Ahora, restamos \(25^\circ\) de ambos lados: \[ \frac{1}{2}x = 28^\circ - 25^\circ \] Esto nos da: \[ \frac{1}{2}x = 3^\circ \] Multiplicamos ambos lados por 2 para despejar \( x \): \[ x = 6^\circ \] Ahora que tenemos el valor de \( x \), podemos sustituirlo de nuevo en las expresiones de \( \hat{A} \) y \( \hat{B} \) para encontrar sus medidas: Para \( \hat{A} \): \[ \hat{A} = \frac{5}{4}(6^\circ) + 25^\circ = \frac{30}{4} + 25^\circ = 7.5^\circ + 25^\circ = 32.5^\circ \] Para \( \hat{B} \): \[ \hat{B} = \frac{3}{4}(6^\circ) + 28^\circ = \frac{18}{4} + 28^\circ = 4.5^\circ + 28^\circ = 32.5^\circ \] Por lo tanto, las medidas de los ángulos son: \[ \hat{A} = 32.5^\circ \quad \text{y} \quad \hat{B} = 32.5^\circ \]