(1,5) Euboçe a regī̃o delimitada pelo gráfico das equaçōes \( x=y^{2}+1, x=\frac{1}{2}, y=- \) e \( y=2 \). Caleule \( a \) área dessa região.

Para calcular a área da região delimitada pelo gráfico das equações \( x = y^2 + 1 \), \( x = \frac{1}{2} \), \( y = - \) (que parece estar incompleto, mas assumiremos que se refere a um valor inferior, como \( y = -1 \)) e \( y = 2 \), vamos seguir os seguintes passos: 1. **Identificar as interseções**: - A equação \( x = y^2 + 1 \) é uma parábola que abre para a direita. - A linha \( x = \frac{1}{2} \) é uma linha vertical. - As linhas horizontais são \( y = -1 \) e \( y = 2 \). 2. **Encontrar os valores de \( y \) onde a parábola intercepta a linha vertical**: - Para encontrar onde \( x = y^2 + 1 \) intercepta \( x = \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{2} = y^2 + 1 \implies y^2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \] Não há interseções reais, pois \( y^2 \) não pode ser negativo. 3. **Determinar a área entre as curvas**: - A parábola \( x = y^2 + 1 \) é sempre maior que \( \frac{1}{2} \) para todos os valores de \( y \) reais, então a linha \( x = \frac{1}{2} \) não delimita a região. - Precisamos calcular a área entre a parábola e as linhas horizontais \( y = -1 \) e \( y = 2 \). 4. **Calcular a área**: - A área \( A \) pode ser calculada pela integral da função \( x = y^2 + 1 \) entre os limites \( y = -1 \) e \( y = 2 \): \[ A = \int_{-1}^{2} (y^2 + 1) \, dy \] 5. **Calcular a integral**: \[ A = \int_{-1}^{2} (y^2 + 1) \, dy = \int_{-1}^{2} y^2 \, dy + \int_{-1}^{2} 1 \, dy \] - Calculando a primeira parte: \[ \int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \Big|_{-1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{9}{3} = 3 \] - Calculando a segunda parte: \[ \int 1 \, dy = y \Big|_{-1}^{2} = 2 - (-1) = 3 \] - Somando as duas partes: \[ A = 3 + 3 = 6 \] Portanto, a área da região delimitada é \( \boxed{6} \).