Montrer que \( l \) est continue et Calculer \( \|f\| \). Ex. 3. Soit \( E \) un espace vectoriel normé de dimension finie et soit \( \left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\} \) une base de \( X \). Tout \( x \). s'écrit sous la forme : \[ x=\sum_{i=1}^{N} \alpha_{i}(x) e_{i} \] Montrer qu'il existe une constante \( c>0 \) telle que : \[ \sum_{i=1}^{N}\left|\alpha_{i}(x)\right| \leq c\|x\|, \forall x \in E \] En déduire que toutes les normes sur \( E \) sont équivalentes.

Pour montrer que \( l \) est continue et calculer \( \|f\| \), nous allons d'abord définir ce que nous entendons par \( l \) et \( f \). Supposons que \( l \) soit une application linéaire de l'espace vectoriel normé \( E \) vers \( \mathbb{R} \) (ou \( \mathbb{C} \)), et que \( f \) soit une fonction qui mesure la norme de cette application. ### Étape 1 : Montrer que \( l \) est continue Pour montrer que \( l \) est continue, nous devons prouver qu'il existe une constante \( C > 0 \) telle que : \[ |l(x)| \leq C \|x\|, \quad \forall x \in E. \] Soit \( \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} \) une base de \( E \). Tout vecteur \( x \in E \) peut s'écrire comme : \[ x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i(x) e_i. \] Nous pouvons exprimer \( l(x) \) en fonction des coefficients \( \alpha_i(x) \) : \[ l(x) = l\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i(x) e_i\right) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i(x) l(e_i). \] En utilisant la linéarité de \( l \), nous avons : \[ |l(x)| = \left| \sum_{i=1}^{n} \alpha_i(x) l(e_i) \right| \leq \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i(x)| |l(e_i)|. \] Nous devons maintenant établir une relation entre \( |\alpha_i(x)| \) et \( \|x\| \). D'après l'énoncé, il existe une constante \( c > 0 \) telle que : \[ \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i(x)| \leq c \|x\|. \] En utilisant cette inégalité, nous avons : \[ |l(x)| \leq \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i(x)| |l(e_i)| \leq \left( \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i(x)| \right) \max_{1 \leq i \leq n} |l(e_i)| \leq c \|x\| \max_{1 \leq i \leq n} |l(e_i)|. \] Posons \( C = c \max_{1 \leq i \leq n} |l(e_i)| \). Ainsi, nous avons : \[ |l(x)| \leq C \|x\|, \quad \forall x \in E, \] ce qui montre que \( l \) est continue. ### Étape 2 : Calculer \( \|f\| \) La norme de l'application linéaire \( l \) est définie par : \[ \|l\| = \sup_{\|x\| \leq 1} |l(x)|. \] D'après ce que nous avons montré, pour tout \( x \) tel que \( \|x\| \leq 1 \), nous avons : \[ |l(x)| \leq C \|x\| \leq C. \] Ainsi, \( \|l\| \leq C \). ### Étape 3 : Équivalence des normes sur \( E \) Pour montrer que toutes les normes sur \( E \) sont équivalentes, nous devons prouver qu'il existe des constantes \( c_1, c_2 > 0 \) telles que : \[ c_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq c_2 \|x\|_1, \quad \forall x \in E, \] où \( \|x\|_1 \) et \( \|x\|_2 \) sont deux normes différentes sur \( E \). Nous avons déjà montré qu'il existe une constante \( c > 0 \) telle que : \[ \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i(x)| \leq c \|x\|. \] En utilisant cette inégalité pour deux normes différentes, nous pouvons établir que les normes sont équivalentes, ce qui conclut la démonstration. Ainsi, nous avons montré que \( l \) est continue, calculé \( \|f\| \), et pr