Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área \( A \) de la ventana en función del ancho \( x \) de la ventana.

Para resolver este problema, primero definamos las dimensiones de la ventana. La ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Supongamos que el ancho del rectángulo es \( x \) pies y la altura del rectángulo es \( h \) pies. La circunferencia del semicírculo es igual a la base del rectángulo, por lo que la base del rectángulo es \( \pi x \) pies. El perímetro de la ventana se compone de dos lados del rectángulo y la circunferencia del semicírculo. Por lo tanto, el perímetro \( P \) se puede expresar como: \[ P = 2x + 2h + \pi x \] Dado que el perímetro es de 30 pies, podemos escribir: \[ 30 = 2x + 2h + \pi x \] Para encontrar la relación entre \( x \) y \( h \), reorganicemos la ecuación: \[ 30 = (2 + \pi)x + 2h \] \[ 2h = 30 - (2 + \pi)x \] \[ h = \frac{30 - (2 + \pi)x}{2} \] Ahora, expresamos el área \( A \) de la ventana en función de \( x \). La área de la ventana se compone de la área del rectángulo y la área del semicírculo. La área del rectángulo es \( xh \) y la área del semicírculo es \( \frac{1}{2} \pi x^2 \). Por lo tanto, la área total \( A \) es: \[ A = xh + \frac{1}{2} \pi x^2 \] Sustituimos la expresión de \( h \) en términos de \( x \): \[ A = x \left( \frac{30 - (2 + \pi)x}{2} \right) + \frac{1}{2} \pi x^2 \] \[ A = \frac{x(30 - (2 + \pi)x)}{2} + \frac{1}{2} \pi x^2 \] \[ A = \frac{30x - (2 + \pi)x^2}{2} + \frac{1}{2} \pi x^2 \] \[ A = \frac{30x}{2} - \frac{(2 + \pi)x^2}{2} + \frac{1}{2} \pi x^2 \] \[ A = 15x - \frac{\pi x^2}{2} - x^2 \] \[ A = 15x - \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) x^2 \] Por lo tanto, la área \( A \) de la ventana en función del ancho \( x \) es: \[ A = 15x - \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) x^2 \]