Esercicio 13 Hallar el ārea de la funsión \( f(x)=3 x+1 \) en el intervalo \( [2,6] \) con 4 subintervalos

Para hallar el área bajo la curva de la función \( f(x) = 3x + 1 \) en el intervalo \([2, 6]\) utilizando 4 subintervalos, podemos aplicar el método de los rectángulos (también conocido como la regla de Riemann). 1. **Determinar el ancho de cada subintervalo**: El intervalo \([2, 6]\) tiene una longitud de \(6 - 2 = 4\). Si dividimos este intervalo en 4 subintervalos, el ancho de cada subintervalo (\(\Delta x\)) es: \[ \Delta x = \frac{6 - 2}{4} = 1 \] 2. **Definir los puntos de evaluación**: Los puntos de evaluación para los subintervalos son: - Primer subintervalo: \([2, 3]\) (evaluamos en \(x = 2\)) - Segundo subintervalo: \([3, 4]\) (evaluamos en \(x = 3\)) - Tercer subintervalo: \([4, 5]\) (evaluamos en \(x = 4\)) - Cuarto subintervalo: \([5, 6]\) (evaluamos en \(x = 5\)) 3. **Calcular el área de cada rectángulo**: Evaluamos la función en los puntos de evaluación: - \(f(2) = 3(2) + 1 = 7\) - \(f(3) = 3(3) + 1 = 10\) - \(f(4) = 3(4) + 1 = 13\) - \(f(5) = 3(5) + 1 = 16\) Ahora, calculamos el área de cada rectángulo: - Área del primer rectángulo: \(f(2) \cdot \Delta x = 7 \cdot 1 = 7\) - Área del segundo rectángulo: \(f(3) \cdot \Delta x = 10 \cdot 1 = 10\) - Área del tercer rectángulo: \(f(4) \cdot \Delta x = 13 \cdot 1 = 13\) - Área del cuarto rectángulo: \(f(5) \cdot \Delta x = 16 \cdot 1 = 16\) 4. **Sumar las áreas de los rectángulos**: \[ \text{Área total} = 7 + 10 + 13 + 16 = 46 \] Por lo tanto, el área bajo la curva de la función \( f(x) = 3x + 1 \) en el intervalo \([2, 6]\) con 4 subintervalos es \( \boxed{46} \).