Davey Kelley
11/02/2023 · Senior High School
1. \( \int x^{3} e^{x^{2}} d x=\quad \) (Sugerencia: Sea \( x^{2}=\mathrm{t} \) ) 2. \( \int t^{3} e^{2 t} d t= \) 3. \( \int \frac{500 \ln (x+20)}{(x+20)^{2}} d x= \) 4. \( \int x^{3} \ln x d x= \) 5. Verificar los puntos 1 y 2 por el método tabular. Nota: El taller tiene un valor de 15 puntos. > Enviar a campus virtual en asignaciones. D Elegir un estudiante del grupo para enviar el producto.
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Step-by-step Solution
Vamos a resolver cada una de las integrales paso a paso.
### 1. \( \int x^{3} e^{x^{2}} d x \)
Usamos la sustitución \( t = x^2 \), entonces \( dt = 2x \, dx \) o \( dx = \frac{dt}{2x} = \frac{dt}{2\sqrt{t}} \).
Sustituyendo en la integral:
\[
x^3 = (t)^{3/2} \quad \text{y} \quad e^{x^2} = e^t
\]
La integral se convierte en:
\[
\int x^3 e^{x^2} dx = \int (t^{3/2}) e^t \left(\frac{dt}{2\sqrt{t}}\right) = \frac{1}{2} \int t e^t dt
\]
Ahora, resolvemos \( \int t e^t dt \) usando integración por partes:
Sea \( u = t \) y \( dv = e^t dt \), entonces \( du = dt \) y \( v = e^t \).
Aplicando la fórmula de integración por partes:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Obtenemos:
\[
\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + C = e^t (t - 1) + C
\]
Sustituyendo de nuevo \( t = x^2 \):
\[
\int x^3 e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C
\]
### 2. \( \int t^{3} e^{2t} d t \)
Usamos integración por partes. Sea \( u = t^3 \) y \( dv = e^{2t} dt \), entonces \( du = 3t^2 dt \) y \( v = \frac{1}{2} e^{2t} \).
Aplicando la fórmula de integración por partes:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
Obtenemos:
\[
\int t^3 e^{2t} dt = t^3 \cdot \frac{1}{2} e^{2t} - \int \frac{1}{2} e^{2t} \cdot 3t^2 dt
\]
Esto se convierte en:
\[
= \frac{1}{2} t^3 e^{2t} - \frac{3}{2} \int t^2 e^{2t} dt
\]
Ahora, repetimos el proceso de integración por partes para \( \int t^2 e^{2t} dt \):
Sea \( u = t^2 \) y \( dv = e^{2t} dt \), entonces \( du = 2t dt \) y \( v = \frac{1}{2} e^{2t} \).
\[
\int t^2 e^{2t} dt = t^2 \cdot \frac{1}{2} e^{2t} - \int \frac{1}{2} e^{2t} \cdot 2t dt
\]
Esto se convierte en:
\[
= \frac{1}{2} t^2 e^{2t} - \int e^{2t} t dt
\]
Ahora, para \( \int t e^{2t} dt \):
Sea \( u = t \) y \( dv = e^{2t} dt \), entonces \( du = dt \) y \( v = \frac{1}{2} e^{2t} \).
\[
\int t e^{2t} dt = t \cdot \frac{1}{2} e^{2t} - \int \frac{1}{2} e^{2t} dt = \frac{1}{2} t e^{2t} - \frac{1}{4} e^{2t} + C
\]
Sustituyendo todo de vuelta:
\[
\int t^3 e^{2t} dt = \frac{1}{2} t^3 e^{2t} - \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} t^2 e^{2t} - \frac{1}{4} e^{2t} \right) + C
\]
Simplificando:
\[
= \frac{1}{2} t^3 e^{
Quick Answer
1. \( \int x^{3} e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C \)
2. \( \int t^{3} e^{2t} d t = \frac{1}{2} t^3 e^{2t} - \frac{3}{4} t^2 e^{2t} + \frac{3}{8} t e^{2t} - \frac{3}{16} e^{2t} + C \)
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