Una compañía elabora dos productos. El producto \( T \) requiere por unidad \( 1 / 2 \) hora en armado, 9 minutos en control de calidad y \( \$ 10000 \) en materias primas. El producto M requiere por unidad 20 minutos en labores de armado, \( 1 / 5 \) de hora en control de calidad y \( \$ 6000 \) en materias primas. Actualmente el personal de la compañía permite a lo sumo un total de 90 horas para armado y 80 horas para control de calidad, al día. El primer producto descrito tiene un valor de mercado (precio de venta) de \( \$ 80000 \) por unidad y para el segundo este valor corresponde a \( \$ 50000 \) por unidad. Adicionalmente se estima que el limite máximo de ventas al día del producto T es de 200 unidades y no se tiene un limite máximo de ventas diarias para el producto M . Resuelva gráficamente y determine los niveles de producción que permiten maximizar las utilidades de la compañia y presente su respuesta a la empresa debidamente analizada.

Para resolver este problema de maximización de utilidades, primero definimos las variables y las restricciones. ### Variables - \( x \): número de unidades del producto \( T \) a producir. - \( y \): número de unidades del producto \( M \) a producir. ### Función objetivo La utilidad se puede calcular como la diferencia entre los ingresos por ventas y los costos de producción. La utilidad por cada producto es: - Producto \( T \): - Ingreso: \( 80000x \) - Costo: \( 10000x \) - Utilidad: \( 80000x - 10000x = 70000x \) - Producto \( M \): - Ingreso: \( 50000y \) - Costo: \( 6000y \) - Utilidad: \( 50000y - 6000y = 44000y \) La función objetivo a maximizar es: \[ Z = 70000x + 44000y \] ### Restricciones 1. **Tiempo de armado**: - Producto \( T \): \( \frac{1}{2}x \) horas - Producto \( M \): \( \frac{1}{3}y \) horas (20 minutos = \( \frac{1}{3} \) horas) - Total disponible: 90 horas \[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y \leq 90 \] 2. **Control de calidad**: - Producto \( T \): \( \frac{3}{20}x \) horas (9 minutos = \( \frac{3}{20} \) horas) - Producto \( M \): \( \frac{1}{5}y \) horas - Total disponible: 80 horas \[ \frac{3}{20}x + \frac{1}{5}y \leq 80 \] 3. **Límite de producción del producto \( T \)**: \[ x \leq 200 \] 4. **No negatividad**: \[ x \geq 0, \quad y \geq 0 \] ### Sistema de restricciones Ahora, reescribimos las restricciones en forma estándar: 1. \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y \leq 90 \) - Multiplicamos por 6 para eliminar fracciones: \[ 3x + 2y \leq 540 \] 2. \( \frac{3}{20}x + \frac{1}{5}y \leq 80 \) - Multiplicamos por 20: \[ 3x + 4y \leq 1600 \] ### Graficar las restricciones Ahora graficamos las restricciones en el plano \( xy \): 1. **Para \( 3x + 2y = 540 \)**: - Si \( x = 0 \): \( y = 270 \) - Si \( y = 0 \): \( x = 180 \) 2. **Para \( 3x + 4y = 1600 \)**: - Si \( x = 0 \): \( y = 400 \) - Si \( y = 0 \): \( x = \frac{1600}{3} \approx 533.33 \) 3. **Límite de producción del producto \( T \)**: - Línea vertical en \( x = 200 \). ### Puntos de intersección Para encontrar los puntos de intersección de las restricciones, resolvemos el sistema de ecuaciones: 1. \( 3x + 2y = 540 \) 2. \( 3x + 4y = 1600 \) Restamos la primera de la segunda: \[ (3x + 4y) - (3x + 2y) = 1600 - 540 \] \[ 2y = 1060 \implies y = 530 \] Sustituyendo \( y = 530 \) en la primera ecuación: \[ 3x + 2(530) = 540 \implies 3x + 1060 = 540 \implies 3x = -520 \implies x = -\frac{520}{3} \text{ (no válido)} \] ### Evaluación de los vértices Los vértices del área factible son: 1. \( (0, 0) \)