Resuelva la siguiente ecuación sin omitir ningún detalle. (por el método de variables separables. \[ \begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{x^{4} y-2 x^{4}}{1-x^{5}} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x y^{2}-2 y^{2}}{x^{3}} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x y^{2}-3 y^{2}}{x^{2}}\end{array} \]

Vamos a resolver cada una de las ecuaciones diferenciales utilizando el método de variables separables. ### 1. Ecuación: \[ \frac{d y}{d x}=\frac{x^{4} y-2 x^{4}}{1-x^{5}} \] Primero, separamos las variables. Reescribimos la ecuación: \[ \frac{d y}{d x} = \frac{x^4 (y - 2)}{1 - x^5} \] Separando las variables, tenemos: \[ \frac{d y}{y - 2} = \frac{x^4}{1 - x^5} dx \] Ahora integramos ambos lados: \[ \int \frac{d y}{y - 2} = \int \frac{x^4}{1 - x^5} dx \] La integral del lado izquierdo es: \[ \ln |y - 2| + C_1 \] Para la integral del lado derecho, hacemos un cambio de variable. Sea \( u = 1 - x^5 \), entonces \( du = -5x^4 dx \) o \( dx = -\frac{du}{5x^4} \). Sustituyendo: \[ \int \frac{x^4}{1 - x^5} dx = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{5} \ln |u| + C_2 = -\frac{1}{5} \ln |1 - x^5| + C_2 \] Igualando las integrales: \[ \ln |y - 2| = -\frac{1}{5} \ln |1 - x^5| + C \] Despejando \( y \): \[ |y - 2| = e^{C} |1 - x^5|^{-1/5} \] Finalmente, podemos escribir la solución general como: \[ y = 2 + C' |1 - x^5|^{-1/5} \] donde \( C' = e^{C} \). ### 2. Ecuación: \[ \frac{d y}{d x}=\frac{x y^{2}-2 y^{2}}{x^{3}} \] Separando las variables: \[ \frac{d y}{y^2 (x - 2)} = \frac{1}{x^3} dx \] Integrando ambos lados: \[ \int \frac{d y}{y^2} = \int \frac{1}{x^3} dx \] La integral del lado izquierdo es: \[ -\frac{1}{y} + C_1 \] La integral del lado derecho es: \[ -\frac{1}{2x^2} + C_2 \] Igualando: \[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{2x^2} + C \] Despejando \( y \): \[ y = \frac{1}{\frac{1}{2x^2} - C} \] ### 3. Ecuación: \[ \frac{d y}{d x}=\frac{x y^{2}-3 y^{2}}{x^{2}} \] Separando las variables: \[ \frac{d y}{y^2 (x - 3)} = \frac{1}{x^2} dx \] Integrando ambos lados: \[ \int \frac{d y}{y^2} = \int \frac{1}{x^2} dx \] La integral del lado izquierdo es: \[ -\frac{1}{y} + C_1 \] La integral del lado derecho es: \[ -\frac{1}{x} + C_2 \] Igualando: \[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{x} + C \] Despejando \( y \): \[ y = \frac{1}{\frac{1}{x} - C} \] ### Resumen de soluciones: 1. \( y = 2 + C' |1 - x^5|^{-1/5} \) 2. \( y = \frac{1}{\frac{1}{2x^2} - C} \) 3. \( y = \frac{1}{\frac{1}{x} - C} \) Estas son las soluciones generales para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas.