5) Quantos são os anagramas que se pode formar com as letras da palavra BATATA nos quais: a) as vogais estejam sempre juntas? b) vogais e consoantes estejam intercaladas? c) a letra B esteja sempre entre as letras T? (não necessariamente consecutivas)

Para resolver as questões sobre os anagramas da palavra "BATATA", vamos analisar cada item separadamente. A palavra "BATATA" possui 6 letras, sendo 3 vogais (A, A, A) e 3 consoantes (B, T, T). ### a) As vogais estão sempre juntas? Se considerarmos as vogais (A, A, A) como uma única unidade, podemos representá-las como um bloco "V". Assim, temos as seguintes unidades para permutar: V, B, T, T. Agora, temos 4 unidades: V, B, T, T. Para calcular o número de anagramas, usamos a fórmula para permutações de elementos com repetição: \[ \text{Número de anagramas} = \frac{n!}{p_1! \cdot p_2! \cdot \ldots \cdot p_k!} \] onde \( n \) é o total de elementos e \( p_i \) são as repetições. Aqui, temos: - Total de unidades (n) = 4 (V, B, T, T) - Repetições: T aparece 2 vezes. Portanto, o número de anagramas é: \[ \text{Número de anagramas} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \] ### b) Vogais e consoantes estão intercaladas? Para que as vogais e consoantes estejam intercaladas, precisamos considerar a disposição das letras. Como temos 3 vogais (A, A, A) e 3 consoantes (B, T, T), a única forma de intercalar é começando com uma consoante ou uma vogal. 1. **Começando com uma consoante**: A disposição seria CVCVCV. - Temos 3 consoantes (B, T, T) e 3 vogais (A, A, A). - O número de maneiras de organizar as consoantes é: \[ \frac{3!}{2!} = 3 \] - O número de maneiras de organizar as vogais é: \[ \frac{3!}{3!} = 1 \] - Portanto, o total para essa disposição é \( 3 \times 1 = 3 \). 2. **Começando com uma vogal**: A disposição seria VCVCVC. - O número de maneiras de organizar as vogais é: \[ \frac{3!}{3!} = 1 \] - O número de maneiras de organizar as consoantes é: \[ \frac{3!}{2!} = 3 \] - Portanto, o total para essa disposição é \( 1 \times 3 = 3 \). Assim, o total de anagramas intercalados é: \[ 3 + 3 = 6 \] ### c) A letra B está sempre entre as letras T? Para que a letra B esteja sempre entre as letras T, podemos considerar a sequência TBT como uma única unidade. Assim, temos as seguintes unidades para permutar: TBT, A, A, A. Agora, temos 4 unidades: TBT, A, A, A. O número de anagramas é: \[ \text{Número de anagramas} = \frac{4!}{3!} = \frac{24}{6} = 4 \] ### Resumo das respostas: a) 12 anagramas com vogais juntas. b) 6 anagramas com vogais e consoantes intercaladas. c) 4 anagramas com a letra B entre as letras T.