1.- Encontrar el conjunto solución sobre C: \( \left\{\begin{array}{c}(1+i) x-i y+2 z=0 \\ i x+i y-z=0\end{array}\right. \)

Para resolver el sistema de ecuaciones sobre los números complejos \( \mathbb{C} \): \[ \begin{cases} (1+i)x - iy + 2z = 0 \\ ix + iy - z = 0 \end{cases} \] Vamos a resolverlo paso a paso. ### Paso 1: Escribir el sistema en forma matricial Podemos escribir el sistema en forma matricial como: \[ \begin{pmatrix} 1+i & -i & 2 \\ i & i & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] ### Paso 2: Resolver el sistema Para resolver el sistema, podemos usar el método de eliminación de Gauss. Comenzamos con la primera ecuación: \[ (1+i)x - iy + 2z = 0 \] De aquí, podemos despejar \( z \): \[ 2z = - (1+i)x + iy \implies z = -\frac{(1+i)}{2}x + \frac{iy}{2} \] Ahora sustituimos \( z \) en la segunda ecuación: \[ ix + iy - z = 0 \] Sustituyendo \( z \): \[ ix + iy - \left(-\frac{(1+i)}{2}x + \frac{iy}{2}\right) = 0 \] Simplificamos: \[ ix + iy + \frac{(1+i)}{2}x - \frac{iy}{2} = 0 \] Agrupamos términos: \[ \left(i + \frac{(1+i)}{2}\right)x + \left(i - \frac{i}{2}\right)y = 0 \] Calculamos los coeficientes: 1. Para \( x \): \[ i + \frac{1}{2} + \frac{i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3i}{2} \] 2. Para \( y \): \[ i - \frac{i}{2} = \frac{i}{2} \] Por lo tanto, la ecuación se convierte en: \[ \left(\frac{1}{2} + \frac{3i}{2}\right)x + \frac{i}{2}y = 0 \] ### Paso 3: Encontrar la relación entre \( x \) y \( y \) Para que esta ecuación se cumpla, podemos escribir: \[ \frac{1}{2} + \frac{3i}{2} \neq 0 \implies x = -\frac{\frac{i}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{3i}{2}}y \] Multiplicamos por \( 2 \) para simplificar: \[ x = -\frac{i}{1 + 3i}y \] Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: \[ x = -\frac{i(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)}y = -\frac{i - 3}{1 + 9}y = -\frac{i - 3}{10}y \] ### Paso 4: Expresar \( z \) en términos de \( y \) Sustituyendo \( x \) en la expresión de \( z \): \[ z = -\frac{(1+i)}{2} \left(-\frac{i - 3}{10}y\right) + \frac{iy}{2} \] Simplificamos: \[ z = \frac{(1+i)(i - 3)}{20}y + \frac{iy}{2} \] Calculamos \( (1+i)(i - 3) \): \[ (1+i)(i - 3) = i - 3 + i^2 - 3i = -2 - 2i \] Por lo tanto: \[ z = \frac{-2 - 2i}{20}y + \frac{iy}{2} = -\frac{1 + i}{10}y + \frac{iy}{2} \] ### Paso 5: Expresar \( z \) en términos de \( y \) Ahora, combinamos los términos: \[ z = \left(-\frac{1 + i}{10} + \frac{5i}{10}\right)y = \left(-\frac{1}{10