Hallar la longitud de la curva \( y=\sin ^{-1}\left(e^{-x}\right) \) desde \( x=0 \) hasta \( x=1 \) \( \ln \left(e^{2}+\sqrt{e^{2}-1}\right) \) \( \ln \left(e^{2}+\sqrt{e-1}\right) \) \( \ln (e+\sqrt{e-1}) \) \( \ln \left(e+\sqrt{e^{2}-1}\right) \)

Para hallar la longitud de la curva \( y = \sin^{-1}(e^{-x}) \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \), utilizamos la fórmula de la longitud de arco: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primero, necesitamos calcular \( \frac{dy}{dx} \). Dado que \( y = \sin^{-1}(e^{-x}) \), aplicamos la regla de la cadena: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (e^{-x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \cdot (-e^{-x}) = -\frac{e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \] Ahora, calculamos \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \): \[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left(-\frac{e^{-x}}{\sqrt{1 - e^{-2x}}}\right)^2 = \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} \] Sustituyendo esto en la fórmula de la longitud de arco: \[ L = \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}}} \, dx \] Simplificamos la expresión dentro de la raíz: \[ 1 + \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} = \frac{(1 - e^{-2x}) + e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} = \frac{1}{1 - e^{-2x}} \] Por lo tanto, la longitud de la curva se convierte en: \[ L = \int_0^1 \sqrt{\frac{1}{1 - e^{-2x}}} \, dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - e^{-2x}}} \, dx \] Para resolver esta integral, realizamos el cambio de variable \( u = e^{-x} \), lo que implica que \( du = -e^{-x} \, dx \) o \( dx = -\frac{du}{u} \). Cuando \( x = 0 \), \( u = 1 \) y cuando \( x = 1 \), \( u = e^{-1} \). Entonces, la integral se transforma en: \[ L = \int_1^{e^{-1}} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \left(-\frac{du}{u}\right) = \int_{e^{-1}}^1 \frac{1}{u \sqrt{1 - u^2}} \, du \] Esta integral se puede resolver utilizando la integral conocida: \[ \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^2}} \, du = \ln \left| u + \sqrt{u^2 - 1} \right| + C \] Evaluamos la integral: \[ L = \left[ \ln \left( u + \sqrt{u^2 - 1} \right) \right]_{e^{-1}}^1 \] Calculamos en los límites: 1. Para \( u = 1 \): \[ \ln(1 + \sqrt{1^2 - 1}) = \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0 \] 2. Para \( u = e^{-1} \): \[ \ln \left( e^{-1} + \sqrt{(e^{-1})^2 - 1} \right) = \ln \left( e^{-1} + \sqrt{e^{-2} - 1} \right) \] Sin embargo, \( e^{-2} - 1 \) es negativo, así que debemos tener cuidado. En realidad, el valor correcto es: \[ \sqrt{1 - e^{-2}} = \sqrt{\frac{e^2 - 1}{e^2}} = \frac{\sqrt{e^2 - 1}}{e} \] Por lo tanto, el resultado es: \[ L = 0 - \ln \left( e^{-1} + \frac{\sqrt{e^2 - 1}}{e} \right) = -\ln \left( \frac