1. Sea la matriz \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & \mathrm{k} \\ 2 & -3 & -3 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right) \) Hallar los valores de k para los cuales la matriz A es inversible. 2. En una economia de tres rubros independientes I, II y II: Para producir \( 1 \$ \) de I se necesitan \( \$ 0,6 \) de I y \( \$ 0,1 \) de II. Para producir \( 1 \$ \) de II se necesitan \( \$ 0,4 \) de I, \( \$ 0,5 \) de II y \( \$ 0,1 \) de III. Para producir \( 1 \$ \) de III se necesitan \( \$ 0,2 \) de II \( \$ 0,7 \) de III. ¿Qué demanda externa de cada rubro es posible satisfacer con una producción de \( \$ 240 \) de I . \( \$ 120 \) de II y \( \$ 100 \) de III?

1. Para determinar los valores de \( k \) para los cuales la matriz \( \mathrm{A} \) es inversible, debemos calcular el determinante de la matriz y encontrar los valores de \( k \) que hacen que el determinante sea diferente de cero. La matriz \( \mathrm{A} \) es: \[ \mathrm{A} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & k \\ 2 & -3 & -3 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix} \] El determinante de una matriz \( 3 \times 3 \) se puede calcular usando la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. Usaremos la expansión por cofactores: \[ \text{det}(\mathrm{A}) = -1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ -5 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + k \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes \( 2 \times 2 \): 1. \(\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ -5 & 0 \end{vmatrix} = (-3)(0) - (-3)(-5) = 0 - 15 = -15\) 2. \(\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) - (-3)(3) = 0 + 9 = 9\) 3. \(\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = (2)(-5) - (-3)(3) = -10 + 9 = -1\) Sustituyendo estos valores en la expresión del determinante: \[ \text{det}(\mathrm{A}) = -1(-15) - 2(9) + k(-1) \] \[ = 15 - 18 - k \] \[ = -k - 3 \] Para que la matriz \( \mathrm{A} \) sea inversible, el determinante debe ser diferente de cero: \[ -k - 3 \neq 0 \] \[ -k \neq 3 \] \[ k \neq -3 \] Por lo tanto, la matriz \( \mathrm{A} \) es inversible para todos los valores de \( k \) excepto \( k = -3 \). --- 2. Para resolver el problema de la economía de tres rubros, primero debemos establecer las ecuaciones que describen la producción de cada rubro en función de la demanda externa. Denotemos la demanda externa de los rubros I, II y III como \( D_I \), \( D_{II} \) y \( D_{III} \) respectivamente. Las relaciones de producción son las siguientes: - Para el rubro I: \[ D_I = 0.6D_I + 0.4D_{II} + 0 \] - Para el rubro II: \[ D_{II} = 0.1D_I + 0.5D_{II} + 0.2D_{III} \] - Para el rubro III: \[ D_{III} = 0 + 0.1D_{II} + 0.7D_{III} \] Ahora, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones. Primero, reescribimos las ecuaciones: 1. \( D_I - 0.6D_I - 0.4D_{II} = 0 \) \(\Rightarrow 0.4D_I - 0.4D_{II} = 0 \Rightarrow D_I = D_{II}\) 2. \( D_{II} - 0.1D_I - 0.5D_{II} - 0.2D_{III} = 0 \) \(\Rightarrow 0.5D_{II} - 0.1D_I - 0.2D_{III} = 0\) 3. \( D_{III} - 0.1D_{II} - 0.7D_{III} = 0 \) \(\Rightarrow 0.3D_{III} - 0.1D_{II} = 0 \Rightarrow D_{III} = \frac{1}{3}D_{II}\) Ahora sustituimos \( D_I = D_{II} \) en la segunda ecuación: \[ 0.5D_{II} - 0.1D_{II} - 0.2\left(\frac{1}{3}D_{II}\right) = 0 \] \[ 0.5D_{II} - 0.1D_{II} - \frac{1}{15}D_{II} = 0 \] \[ \left(0.5 - 0.1 - \frac{1}{15}\right)D_{II} = 0 \] Calculamos el coeficiente: \[ 0.5 - 0.1 = 0.4 \] \[ 0.4 - \frac{1}{15} = \frac{6}{15} - \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] Por lo tanto, \( D_{II} \) puede ser cualquier valor, y \( D_I = D_{II} \) y \( D_{III} = \frac{1}{3}D_{II} \). Ahora, dado que la producción es de \( 240 \) de I, \( 120 \) de II y \( 100 \) de III, podemos establecer: \[ D_I = 240, \quad D_{II} = 120, \quad D_{III} = 100 \] Sustituyendo en las relaciones: 1. \( D_I = D_{II} \Rightarrow 240 = 120 \) (no se cumple) 2. \( D_{III} = \frac{1}{3}D_{II} \Rightarrow 100 = \frac{1}{3}(120) = 40 \) (no se cumple) Por lo tanto, la demanda externa que se puede satisfacer con la producción dada es: - Para el rubro I: \( D_I = 240 \) - Para el rubro II: \( D_{II} = 240 \) - Para el rubro III: \( D_{III} = 80 \) Esto significa que la producción de \( 240 \) de I, \( 120 \) de II y \( 100 \) de III no satisface completamente la demanda externa, ya que no se cumplen las relaciones de producción.