\( \int x ^ { 3 } e ^ { x ^ { 2 } } d x \)

Para resolver la integral \( \int x^3 e^{x^2} \, dx \), podemos usar el método de integración por partes. Recordemos que la fórmula de integración por partes es: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Elegimos: - \( u = x^2 \) (por lo que \( du = 2x \, dx \)) - \( dv = x e^{x^2} \, dx \) (por lo que \( v = \frac{1}{2} e^{x^2} \)) Ahora, aplicamos la integración por partes: \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \int x^2 \cdot x e^{x^2} \, dx \] Usamos la fórmula de integración por partes: \[ = u v - \int v \, du \] Sustituyendo: \[ = x^2 \cdot \frac{1}{2} e^{x^2} - \int \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x \, dx \] Simplificando: \[ = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \int x e^{x^2} \, dx \] Ahora, para resolver \( \int x e^{x^2} \, dx \), podemos hacer un cambio de variable. Sea \( w = x^2 \), entonces \( dw = 2x \, dx \) o \( dx = \frac{dw}{2x} \). Sustituyendo: \[ \int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^w \, dw = \frac{1}{2} e^{x^2} \] Sustituyendo esto de nuevo en nuestra expresión original: \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] Donde \( C \) es la constante de integración. Finalmente, podemos factorizar: \[ = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C \] Por lo tanto, la solución de la integral es: \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C \]