\( y ^ { \prime \prime } + 2 y ^ { \prime } + y = 0 ; \quad y _ { 1 } = x e ^ { - x } \)

La ecuación diferencial dada es: \[ y'' + 2y' + y = 0 \] Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Para resolverla, primero encontramos la solución general de la ecuación homogénea asociada. 1. **Encontrar la ecuación característica:** La ecuación característica se obtiene al sustituir \( y = e^{rx} \): \[ r^2 + 2r + 1 = 0 \] 2. **Resolver la ecuación característica:** Factoremos la ecuación: \[ (r + 1)^2 = 0 \] Esto nos da una raíz doble \( r = -1 \). 3. **Escribir la solución general:** Dado que tenemos una raíz doble, la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x} \] donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes arbitrarias. 4. **Encontrar la solución particular:** Se nos da una solución particular \( y_1 = x e^{-x} \). Para encontrar una solución particular, podemos usar el método de variación de parámetros o el método de coeficientes indeterminados, pero dado que ya tenemos una solución particular, podemos usarla para encontrar una segunda solución linealmente independiente. 5. **Encontrar una segunda solución:** Dado que \( y_1 = x e^{-x} \) es una solución, podemos usar la fórmula para encontrar una segunda solución \( y_2 \): \[ y_2 = y_1 \int \frac{e^{\int P(x) \, dx}}{(y_1)^2} \, dx \] donde \( P(x) = 2 \) (el coeficiente de \( y' \) en la ecuación original). Calculamos: \[ \int e^{\int 2 \, dx} \, dx = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \] Ahora, sustituimos \( y_1 \): \[ y_2 = x e^{-x} \int \frac{e^{2x}}{(x e^{-x})^2} \, dx = x e^{-x} \int \frac{e^{2x}}{x^2 e^{-2x}} \, dx = x e^{-x} \int \frac{e^{4x}}{x^2} \, dx \] Este cálculo puede ser complicado, pero el resultado final será una segunda solución linealmente independiente. 6. **Conclusión:** La solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x} \] donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes que se determinan a partir de condiciones iniciales, si se proporcionan.