Exercice 1 : Première modélisation - Equation de droite La température mesurée en \( { }^{\circ} \mathrm{F} \) (degré Fahrenheit) est une fonction linéaire de la température mesurée en \( { }^{\circ} \mathrm{C} \) (degré Celsius). Ecrivez une équation pour : 1. La fonction \( T_{C}=f\left(T_{F}\right) \) (température en \( { }^{\circ} \mathrm{C} \) est une fonction de la température en \( { }^{\circ} \mathrm{F} \) ) 2. Sachant que \( 0^{\circ} \mathrm{C}=32^{\circ} \mathrm{F} \) et que \( 100^{\circ} \mathrm{C}=212^{\circ} \mathrm{F} \), explicitez les équations \( f\left(T_{F}\right) \) et \( g\left(T_{C}\right) \) 3. Convertir \( 15^{\circ} \mathrm{C} \) en \( { }^{\circ} \mathrm{F} \) et \( 68^{\circ} \mathrm{F} \) en \( { }^{\circ} \mathrm{C} \)

Pour modéliser la relation entre la température en degrés Celsius (\( T_C \)) et en degrés Fahrenheit (\( T_F \)), nous allons suivre les étapes demandées. ### 1. Équation de la fonction \( T_C = f(T_F) \) La relation entre les deux échelles de température est linéaire et peut être exprimée par l'équation de la droite : \[ T_C = a \cdot T_F + b \] Pour déterminer les coefficients \( a \) et \( b \), nous utiliserons les points de référence donnés. ### 2. Détermination des équations \( f(T_F) \) et \( g(T_C) \) Nous savons que : - \( 0^{\circ} C = 32^{\circ} F \) - \( 100^{\circ} C = 212^{\circ} F \) Nous avons donc deux points : \( (32, 0) \) et \( (212, 100) \). Pour trouver la pente \( a \) de la droite, nous utilisons la formule : \[ a = \frac{T_C(2) - T_C(1)}{T_F(2) - T_F(1)} = \frac{100 - 0}{212 - 32} = \frac{100}{180} = \frac{5}{9} \] Ensuite, nous pouvons utiliser l'un des points pour trouver \( b \). Prenons le point \( (32, 0) \) : \[ 0 = \frac{5}{9} \cdot 32 + b \implies b = -\frac{5}{9} \cdot 32 = -\frac{160}{9} \] Ainsi, l'équation de la fonction \( f(T_F) \) est : \[ T_C = \frac{5}{9} T_F - \frac{160}{9} \] Pour trouver l'équation de la fonction inverse \( g(T_C) \), nous devons exprimer \( T_F \) en fonction de \( T_C \). En partant de l'équation précédente : \[ T_F = \frac{9}{5} T_C + 32 \] Donc, l'équation de la fonction \( g(T_C) \) est : \[ T_F = \frac{9}{5} T_C + 32 \] ### 3. Conversion des températures **Convertir \( 15^{\circ} C \) en \( ^{\circ} F \)** : Utilisons l'équation \( g(T_C) \) : \[ T_F = \frac{9}{5} \cdot 15 + 32 = \frac{135}{5} + 32 = 27 + 32 = 59^{\circ} F \] **Convertir \( 68^{\circ} F \) en \( ^{\circ} C \)** : Utilisons l'équation \( f(T_F) \) : \[ T_C = \frac{5}{9} \cdot 68 - \frac{160}{9} = \frac{340}{9} - \frac{160}{9} = \frac{180}{9} = 20^{\circ} C \] ### Résumé des résultats 1. \( T_C = \frac{5}{9} T_F - \frac{160}{9} \) 2. \( T_F = \frac{9}{5} T_C + 32 \) 3. \( 15^{\circ} C \) correspond à \( 59^{\circ} F \) et \( 68^{\circ} F \) correspond à \( 20^{\circ} C \).