EJEMPLO \%Sabiendo que en un triángulo rectángulo se cumple que \( \tan \left(33.69^{\circ}\right)=\frac{2}{3} \) resuelva el triángulo.

Para resolver el triángulo rectángulo dado que \( \tan(33.69^{\circ}) = \frac{2}{3} \), podemos seguir los siguientes pasos: 1. **Identificar los lados del triángulo**: En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. En este caso, podemos asignar: - Cateto opuesto (a) = 2 - Cateto adyacente (b) = 3 2. **Calcular la hipotenusa**: Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa (c): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] 3. **Calcular los otros ángulos**: Sabemos que en un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos es \( 180^{\circ} \) y uno de los ángulos es \( 90^{\circ} \). Por lo tanto, el otro ángulo (B) se puede calcular como: \[ B = 90^{\circ} - 33.69^{\circ} = 56.31^{\circ} \] 4. **Resumen de los resultados**: Ahora tenemos todos los lados y ángulos del triángulo: - Ángulo A: \( 33.69^{\circ} \) - Ángulo B: \( 56.31^{\circ} \) - Ángulo C: \( 90^{\circ} \) - Cateto opuesto (a): 2 - Cateto adyacente (b): 3 - Hipotenusa (c): \( \sqrt{13} \) Por lo tanto, el triángulo está completamente resuelto.