Al reducir la ecuación \( x^{2}+y^{2}+3 x=y(y+2)-3 \), a una forma ordinaria, se obtiene: Una circunferenciftecon centro en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y \( r=\sqrt{3} \) Una parábola con vértice en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y eje focal \( x=-\frac{3}{2} \) Una circunferencia con centro en \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y \( r=3 \) Una parábola con vértice en \( \left(\frac{3}{2},-\frac{3}{8}\right) \) y eje focal \( y=-\frac{3}{8} \)

Para reducir la ecuación \( x^{2}+y^{2}+3 x=y(y+2)-3 \) a una forma ordinaria, primero reorganizamos la ecuación. 1. Comencemos expandiendo el lado derecho: \[ y(y + 2) - 3 = y^2 + 2y - 3 \] 2. Ahora, reescribimos la ecuación original: \[ x^2 + y^2 + 3x = y^2 + 2y - 3 \] 3. Restamos \( y^2 \) de ambos lados: \[ x^2 + 3x = 2y - 3 \] 4. Ahora, movemos todos los términos al lado izquierdo: \[ x^2 + 3x - 2y + 3 = 0 \] 5. Aislamos \( y \): \[ 2y = x^2 + 3x + 3 \] \[ y = \frac{1}{2}(x^2 + 3x + 3) \] 6. Ahora, podemos identificar que esta es la ecuación de una parábola en la forma \( y = ax^2 + bx + c \), donde \( a = \frac{1}{2} \), \( b = \frac{3}{2} \), y \( c = \frac{3}{2} \). Para encontrar el vértice de la parábola, utilizamos la fórmula del vértice \( x_v = -\frac{b}{2a} \): \[ x_v = -\frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -3 \] Sustituyendo \( x_v \) en la ecuación de la parábola para encontrar \( y_v \): \[ y_v = \frac{1}{2}((-3)^2 + 3(-3) + 3) = \frac{1}{2}(9 - 9 + 3) = \frac{3}{2} \] Por lo tanto, el vértice de la parábola es \( (-3, \frac{3}{2}) \). Sin embargo, parece que hemos cometido un error en la identificación de los términos. Vamos a revisar el proceso de reducción de la ecuación. Al observar la ecuación original, parece que se puede simplificar de otra manera. Vamos a reorganizarla de nuevo: 1. Comenzamos con la ecuación original: \[ x^2 + y^2 + 3x = y^2 + 2y - 3 \] 2. Restamos \( y^2 \) de ambos lados: \[ x^2 + 3x = 2y - 3 \] 3. Aislamos \( y \): \[ 2y = x^2 + 3x + 3 \] \[ y = \frac{1}{2}(x^2 + 3x + 3) \] 4. Ahora, completamos el cuadrado para \( x \): \[ y = \frac{1}{2}\left((x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 3\right) \] \[ y = \frac{1}{2}\left((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4}\right) \] \[ y = \frac{1}{2}\left((x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}\right) \] 5. Finalmente, podemos escribir la ecuación de la parábola en la forma estándar: \[ y - \frac{3}{8} = \frac{1}{2}(x + \frac{3}{2})^2 \] Esto confirma que la ecuación representa una parábola con vértice en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y que se abre hacia arriba. Por lo tanto, la respuesta correcta es: **Una parábola con vértice en \( \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{8}\right) \) y eje focal \( x=-\frac{3}{2} \)**.