Calcular: a) El valor de la tensión y la aceleracion de cada bloque si \( \mathrm{m}=12 \mathrm{~kg} \) y \( \mathrm{M}=20 \mathrm{~kg} \). Adem \( \beta=45^{\circ} \) y \( \mathrm{a}=60^{\circ}, \mu_{\mathrm{k}}=0,4 \).

Para resolver el problema, consideremos un sistema que involucra dos bloques, uno de masa \( m = 12 \, \text{kg} \) y otro de masa \( M = 20 \, \text{kg} \). La configuración del sistema no se ha especificado completamente, pero asumiremos que el bloque de masa \( m \) está en un plano inclinado con un ángulo \( \beta = 45^\circ \) y que el bloque de masa \( M \) está colgando o en una superficie horizontal con un ángulo \( a = 60^\circ \). También se nos da el coeficiente de fricción cinética \( \mu_k = 0.4 \). ### Paso 1: Fuerzas en el bloque \( m \) Para el bloque \( m \) en el plano inclinado: 1. **Fuerza gravitacional**: \( F_g = m \cdot g = 12 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 117.72 \, \text{N} \) 2. **Componente de la fuerza gravitacional paralela al plano**: \[ F_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\beta) = 12 \cdot 9.81 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot 9.81 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 83.49 \, \text{N} \] 3. **Componente de la fuerza gravitacional perpendicular al plano**: \[ F_{\perpendicular} = m \cdot g \cdot \cos(\beta) = 12 \cdot 9.81 \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot 9.81 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 83.49 \, \text{N} \] 4. **Fuerza de fricción**: \[ F_{\text{fricción}} = \mu_k \cdot F_{\perpendicular} = 0.4 \cdot 83.49 \approx 33.40 \, \text{N} \] ### Paso 2: Fuerzas en el bloque \( M \) Para el bloque \( M \) (asumiendo que está colgando): 1. **Fuerza gravitacional**: \[ F_g = M \cdot g = 20 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N} \] ### Paso 3: Ecuaciones de movimiento Si consideramos que ambos bloques están conectados y se mueven juntos, podemos escribir las ecuaciones de movimiento. Para el bloque \( m \): \[ m \cdot a = F_{\parallel} - F_{\text{fricción}} - T \] donde \( T \) es la tensión en la cuerda. Para el bloque \( M \): \[ M \cdot a = F_g - T \] ### Paso 4: Sistema de ecuaciones Sustituyendo los valores: 1. Para el bloque \( m \): \[ 12a = 83.49 - 33.40 - T \implies 12a = 50.09 - T \quad (1) \] 2. Para el bloque \( M \): \[ 20a = 196.2 - T \quad (2) \] ### Paso 5: Resolver el sistema De la ecuación (2): \[ T = 196.2 - 20a \quad (3) \] Sustituyendo (3) en (1): \[ 12a = 50.09 - (196.2 - 20a) \] \[ 12a = 50.09 - 196.2 + 20a \] \[ 12a - 20a = 50.09 - 196.2 \] \[ -8a = -146.11 \] \[ a = \frac{146.11}{8} \approx 18.26 \, \text{m/s}^2 \] ### Paso 6: Calcular la tensión Sustituyendo \( a \) en (3): \[ T = 196.2 - 20 \cdot 18.26 \] \[ T = 196.2 - 365.