Задачи Докажите, что выпуклый четырёхуголь- ник \( A B C D \) является параллелограммом, если: а) \( \angle B A C=\angle A C D \) и \( \angle B C A=\angle D A C \); б) \( A B \| C D, \angle A=\angle C \).

Чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник \( ABCD \) является параллелограммом, рассмотрим оба случая по отдельности. ### a) Доказательство, что \( ABCD \) является параллелограммом, если \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle BCA = \angle DAC \). 1. **Запишем условия**: - \( \angle BAC = \angle ACD \) (1) - \( \angle BCA = \angle DAC \) (2) 2. **Используем свойства углов**: Из условия (1) следует, что треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) имеют равные углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \). Из условия (2) следует, что углы \( \angle BCA \) и \( \angle DAC \) также равны. 3. **Применим признак подобия треугольников**: Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACD \) являются соответственными углами, и, следовательно, треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) подобны по двум углам (по углам \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \)). 4. **Сравнение сторон**: Поскольку треугольники подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} \] Следовательно, \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \). 5. **Заключение**: Таким образом, мы доказали, что \( ABCD \) является параллелограммом, так как противоположные стороны равны и параллельны. ### б) Доказательство, что \( ABCD \) является параллелограммом, если \( AB \parallel CD \) и \( \angle A = \angle C \). 1. **Запишем условия**: - \( AB \parallel CD \) (1) - \( \angle A = \angle C \) (2) 2. **Используем свойства параллельных линий**: Из условия (1) следует, что углы \( \angle A \) и \( \angle B \) являются внутренними односторонними углами, образованными секущей \( AC \). Поскольку \( AB \parallel CD \), то: \[ \angle A + \angle B = 180^\circ \] и \[ \angle C + \angle D = 180^\circ \] 3. **Сравнение углов**: Из условия (2) имеем \( \angle A = \angle C \). Подставляя это в уравнение, получаем: \[ \angle A + \angle B = \angle C + \angle D \] То есть: \[ \angle B = \angle D \] 4. **Заключение**: Поскольку \( AB \parallel CD \) и \( \angle A = \angle C \), а также \( \angle B = \angle D \), то по определению параллелограмма, \( ABCD \) является параллелограммом. Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что выпуклый четырёхугольник \( ABCD \) является параллелограммом.