9. Диагонали оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны \( 12 \sqrt{2} \mathrm{~cm} \) и \( 8 \sqrt{ } 2 \mathrm{~cm} \). Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \( 30^{\circ} \). Найти длину бокового ребра, высоты и сторон основания пирамиды.

Для решения задачи начнем с обозначения: - Пусть \( a_1 \) и \( a_2 \) — стороны оснований усеченной пирамиды. - Пусть \( h \) — высота усеченной пирамиды. - Пусть \( l \) — длина бокового ребра. Сначала найдем стороны оснований. Поскольку основания являются квадратами, то длины их диагоналей можно выразить через стороны: \[ d_1 = a_1 \sqrt{2} \quad \text{и} \quad d_2 = a_2 \sqrt{2} \] где \( d_1 = 12\sqrt{2} \) и \( d_2 = 8\sqrt{2} \). Теперь можем найти стороны оснований: \[ a_1 = \frac{d_1}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12 \, \text{cm} \] \[ a_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \, \text{cm} \] Теперь у нас есть стороны оснований: \( a_1 = 12 \, \text{cm} \) и \( a_2 = 8 \, \text{cm} \). Теперь найдем высоту \( h \) и длину бокового ребра \( l \). Из условия задачи известно, что боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \( 30^\circ \). Это означает, что: \[ \cos(30^\circ) = \frac{h}{l} \quad \Rightarrow \quad h = l \cdot \cos(30^\circ) = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Также, используя треугольник, образованный высотой, половиной разности сторон оснований и боковым ребром, можем записать: \[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{a_1 - a_2}{2}} = \frac{h}{\frac{12 - 8}{2}} = \frac{h}{2} \] Зная, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), получаем: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Теперь подставим \( h \) в уравнение для \( l \): \[ \frac{2\sqrt{3}}{3} = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Умножим обе стороны на \( 2 \): \[ \frac{4\sqrt{3}}{3} = l \cdot \sqrt{3} \] Теперь делим обе стороны на \( \sqrt{3} \): \[ l = \frac{4}{3} \] Таким образом, мы нашли: - Длину бокового ребра \( l = \frac{4}{3} \, \text{cm} \) - Высоту \( h = \frac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \) - Стороны оснований \( a_1 = 12 \, \text{cm} \) и \( a_2 = 8 \, \text{cm} \) Ответ: - Длина бокового ребра: \( l = \frac{4}{3} \, \text{cm} \) - Высота: \( h = \frac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{cm} \) - Стороны оснований: \( a_1 = 12 \, \text{cm}, a_2 = 8 \, \text{cm} \)