2. Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones con algunas restricciones. a) \( f(x)=\frac{x}{x+0} \) b) \( g(x)=\frac{3 x-2}{x-1} \) c) \( f(x)=\frac{x}{x+12} \) d) \( g(x)=\frac{2 x+3}{x-4} \)

Para determinar el dominio y el rango de las funciones dadas, primero identificaremos las restricciones que pueden surgir, como las que se producen al dividir por cero. ### a) \( f(x) = \frac{x}{x + 0} \) **Dominio:** La función está definida para todos los valores de \( x \) excepto cuando el denominador es cero. En este caso, el denominador es \( x + 0 = x \). Por lo tanto, \( x \neq 0 \). Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) (todos los números reales excepto 0). **Rango:** La función se puede simplificar a \( f(x) = 1 \) para \( x \neq 0 \). Por lo tanto, el rango es solo el valor \( 1 \). Rango: \( \{1\} \). --- ### b) \( g(x) = \frac{3x - 2}{x - 1} \) **Dominio:** El denominador \( x - 1 \) no puede ser cero, por lo que \( x \neq 1 \). Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). **Rango:** Para encontrar el rango, observamos que la función es una hipérbola. La función puede tomar todos los valores reales excepto el valor que hace que el numerador sea cero cuando el denominador es cero. Para \( g(x) \), el valor que no puede tomar es \( y = 3 \) (ya que \( 3x - 2 = 0 \) cuando \( x = \frac{2}{3} \), y en ese punto el denominador no es cero). Rango: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \). --- ### c) \( f(x) = \frac{x}{x + 12} \) **Dominio:** El denominador \( x + 12 \) no puede ser cero, por lo que \( x \neq -12 \). Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{-12\} \). **Rango:** Para encontrar el rango, podemos analizar el comportamiento de la función. A medida que \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \), \( f(x) \) tiende a \( 1 \). La función nunca alcanza el valor \( 1 \) porque \( f(x) = 1 \) implicaría que \( x = -12 \), lo cual no está en el dominio. Rango: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). --- ### d) \( g(x) = \frac{2x + 3}{x - 4} \) **Dominio:** El denominador \( x - 4 \) no puede ser cero, por lo que \( x \neq 4 \). Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{4\} \). **Rango:** Al igual que en el caso anterior, esta función es una hipérbola. Para encontrar el rango, notamos que la función puede tomar todos los valores reales excepto el valor que hace que el numerador sea cero cuando el denominador es cero. En este caso, el valor que no puede tomar es \( y = 2 \) (ya que \( 2x + 3 = 0 \) cuando \( x = -\frac{3}{2} \), y en ese punto el denominador no es cero). Rango: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \). --- ### Resumen: - **a)** Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), Rango: \( \{1\} \). - **b)** Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \), Rango: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \). - **c)** Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{-12\} \), Rango: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). - **d)** Dominio: \( \mathbb{R} \setminus \{4\} \), Rango: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).