Ejercicio \#17: Determinar la ecuación explícita de la bisectriz del ángulo obtuso formado entre las rectas \( L_{6} \) y \( L_{10} \). Graficar.

Para determinar la ecuación explícita de la bisectriz del ángulo obtuso formado entre las rectas \( L_{6} \) y \( L_{10} \), primero necesitamos conocer las ecuaciones de estas rectas. Supongamos que las ecuaciones de las rectas son: - \( L_{6}: y = m_6 x + b_6 \) - \( L_{10}: y = m_{10} x + b_{10} \) Donde \( m_6 \) y \( m_{10} \) son las pendientes de las rectas y \( b_6 \) y \( b_{10} \) son las intersecciones con el eje \( y \). ### Paso 1: Encontrar las pendientes Si no se nos proporcionan las ecuaciones explícitas de las rectas, asumiremos que ya las tenemos. Por ejemplo, supongamos que: - \( L_{6}: y = 2x + 1 \) (pendiente \( m_6 = 2 \)) - \( L_{10}: y = -\frac{1}{2}x + 3 \) (pendiente \( m_{10} = -\frac{1}{2} \)) ### Paso 2: Calcular la bisectriz La fórmula para la bisectriz del ángulo entre dos rectas con pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \) es: \[ \frac{y - y_1}{y - y_2} = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \] Donde \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) son puntos en las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) respectivamente. Sin embargo, para encontrar la bisectriz del ángulo obtuso, utilizamos la siguiente fórmula: \[ \frac{y - b_1}{y - b_2} = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} \] ### Paso 3: Aplicar la fórmula Sustituyendo los valores de las pendientes: - \( m_1 = 2 \) - \( m_2 = -\frac{1}{2} \) Calculamos: \[ \frac{y - 1}{y - 3} = \frac{2 - \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{1 - 1} = \frac{\frac{5}{2}}{0} \] Esto indica que la bisectriz es vertical, lo que significa que no hay un ángulo obtuso definido en este caso. Sin embargo, si las pendientes son tales que el producto \( m_1 m_2 < 1 \), podemos proceder a encontrar la bisectriz. ### Paso 4: Ecuación de la bisectriz Para encontrar la ecuación explícita de la bisectriz, podemos usar la siguiente forma: \[ y = mx + b \] Donde \( m \) es la pendiente de la bisectriz. La pendiente de la bisectriz se puede calcular como: \[ m_b = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} \] Sustituyendo los valores: \[ m_b = \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4} \] Ahora, usando un punto de intersección de las rectas para encontrar \( b \). Supongamos que el punto de intersección es \( (0, 1) \): \[ 1 = \frac{3}{4}(0) + b \implies b = 1 \] Por lo tanto, la ecuación de la bisectriz es: \[ y = \frac{3}{4}x + 1 \] ### Paso 5: Graficar Para graficar, se pueden trazar las rectas \( L_6 \) y \( L_{10} \) junto con la bisectriz \( y = \frac{3}{4}x + 1 \). 1. Dibuja las rectas \( L_6 \) y \( L_{10} \). 2. Dibuja la bisectriz \( y = \frac{3}{4}x + 1 \). Esto te dará una representación visual del ángulo obtuso y su bisectriz. Si necesitas más detalles o un ejemplo específico con diferentes rectas, por favor házmelo saber.