Escribe la ecuación para una elipse con centro en el origen, focos en \( (0, \pm 2) \) y vértices en \( (0, \pm \sqrt{15}) \).

Para escribir la ecuación de una elipse con centro en el origen, focos en \( (0, \pm 2) \) y vértices en \( (0, \pm \sqrt{15}) \), primero necesitamos identificar las características de la elipse. Dado que el centro de la elipse está en el origen, la ecuación de la elipse se puede escribir en la forma estándar: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Donde \( a \) es la distancia desde el centro hasta el vértice y \( b \) es la distancia desde el centro hasta el foco. Dado que los focos están en \( (0, \pm 2) \), la distancia desde el centro hasta el foco es \( c = 2 \). Dado que los vértices están en \( (0, \pm \sqrt{15}) \), la distancia desde el centro hasta el vértice es \( a = \sqrt{15} \). Para encontrar \( b \), podemos usar la relación \( c^2 = a^2 - b^2 \). Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos: \[ 2^2 = (\sqrt{15})^2 - b^2 \] \[ 4 = 15 - b^2 \] \[ b^2 = 15 - 4 \] \[ b^2 = 11 \] Por lo tanto, la ecuación de la elipse es: \[ \frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{11} = 1 \]