Sean las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) con valor inicial \[ \left(2 y^{2}+3 \cos (3 x)\right) d x+\left(4 x y-6 y^{2}\right) d y=0, \quad y(0)=-1 \]

Para resolver la ecuación diferencial ordinaria (EDO) dada: \[ (2 y^{2}+3 \cos (3 x)) d x + (4 x y - 6 y^{2}) d y = 0, \] primero reescribimos la ecuación en la forma estándar: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2 y^{2} + 3 \cos(3x)}{4xy - 6y^{2}}. \] Ahora, intentamos verificar si la ecuación es exacta. Para que una EDO de la forma \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\) sea exacta, debe cumplirse que: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}. \] Donde: - \(M(x, y) = 2y^2 + 3\cos(3x)\) - \(N(x, y) = 4xy - 6y^2\) Calculamos las derivadas parciales: 1. \(\frac{\partial M}{\partial y} = 4y\) 2. \(\frac{\partial N}{\partial x} = 4y\) Dado que \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\), la ecuación es exacta. Ahora, buscamos una función \(F(x, y)\) tal que: \[ \frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y) \quad \text{y} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y). \] Integrando \(M(x, y)\) con respecto a \(x\): \[ F(x, y) = \int (2y^2 + 3\cos(3x)) \, dx = 2y^2x + \int 3\cos(3x) \, dx = 2y^2x + \sin(3x) + g(y), \] donde \(g(y)\) es una función de \(y\) que se determinará. Ahora, derivamos \(F(x, y)\) con respecto a \(y\): \[ \frac{\partial F}{\partial y} = 4xy + g'(y). \] Igualamos esto a \(N(x, y)\): \[ 4xy + g'(y) = 4xy - 6y^2. \] De aquí, deducimos que: \[ g'(y) = -6y^2. \] Integrando \(g'(y)\): \[ g(y) = -2y^3 + C, \] donde \(C\) es una constante de integración. Por lo tanto, la función \(F(x, y)\) es: \[ F(x, y) = 2y^2x + \sin(3x) - 2y^3 + C. \] La solución de la EDO es: \[ F(x, y) = C, \] lo que implica: \[ 2y^2x + \sin(3x) - 2y^3 = C. \] Ahora, aplicamos la condición inicial \(y(0) = -1\): \[ 2(-1)^2(0) + \sin(3 \cdot 0) - 2(-1)^3 = C \implies 0 + 0 + 2 = C \implies C = 2. \] Finalmente, la solución de la EDO con la condición inicial es: \[ 2y^2x + \sin(3x) - 2y^3 = 2. \]